O Sistema de Vibração Mecânico

[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]Sistema de vibração mecânico

Fenômeno do Batimento

Se a freqüência forçante (  ) for próxima, mas não exatamente igual à freqüência natural (   ) do sistema, pode ocorrer um fenômeno conhecido como batimento. Nesse tipo de vibração, a amplitude aumenta e diminui segundo um padrão regular. O fenômeno do batimento pode ser explicado levando-se em conta a solução da equação forçada não amortecida.

Se as condições iniciais forem consideradas como   (0) =   ̇(0) = 0, reduz-se a:

( 0)

[pic 5]

  (  ) =  2        2 (cos(    ) − cos(     ))        (1)

[pic 6]

−  

Supondo que a frequência        seja ligeiramente menor que        :

−  =2

(2)

Sendo        uma quantidade pequena e positiva. Assim:

≈
+   ≈2						(3)
Multiplicando as Eqs.(2) e (3):
2 −  2	= 4			(4)
Reescrevendo a Equação (1), aplicando o limite quando   →   , tem-se:
			0
(  ) =		(			)	[2 sin (	+	) sin (	−	)]	(5)
2	−  2		2
	2

Substituindo os temos de (3), (4) em (5):

	(	0	)
(  )		[sin(    )] sin(    )
=				(6)
2

Já que é pequena, a função sin(    )varia lentamente; seu período, igual a 2  /   , é grande. Assim, pode ser considerado pela Equação (6), a Eq. (7) representa a amplitude variável de vibração com período 2  /  .

(	0	)
	[sin(    )]	(7)
2

Pode ser observado que curva sin(    ) passará por vários ciclos, enquanto a onda passa por apenas um ciclo, como mostra a Figura 1.. Assim, a amplitude aumenta e diminui continuamente. O tempo entre os pontos de amplitude zero ou entre os pontos de amplitude máxima é denominado período de batimento (   ) e é dado por:

=	2	=	2	(8)
	2	−
Sendo a frequência de batimento definida como:
=2  =   −	(9)

[pic 7]

Figura 1 – (a) Resposta do fenômeno do batimento (b) zoom na mudança da amplitude.