O desenvolvimento de uma sequência de operações aritméticas que levem as respostas numéricas desejadas

AAAaritméticas;

• O desenvolvimento de uma sequência de operações aritméticas que levem as respostas numéricas desejadas;

• O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica em escrever o método numérico como um programa de computador.

Espera-se que, com isso, obter respostas confiáveis para problemas matemáticos.

Podemos dividir a Matemática em duas partes, o caçulo numérico e o cálculo algébrico. O cálculo numérico envolve as operações da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, envolvendo os números reais. O cálculo algébrico está diretamente ligado a expressões algébricas, envolvendo equações, inequações e sistemas de equações. Nele, todos os fundamentos fixados no cálculo numérico são utilizados.

Espaço vetorial – Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguintes elementos:

1º) Um corpo K, ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, cujos elementos são chamados de escalares.

2º) Um conjunto V dotado de uma operação binária de VxV em V, os elementos de V serão chamados de vetores.

Espaço Vetorial Euclidiano – é qualquer espaço real que possui um número finito de dimensão e possui uma operação denominada produto interno.

Espaço Vetorial Normado – é qualquer espaço vetorial que possui norma definida.

Processo de Gram-Schmidt – é um método para ortogonalização de um conjunto de vetores em um espaço com produto interno, normalmente Rn . O processo recebe um conjunto finito, linearmente independente de vetores S= {V1, ..., Vn } e retorna um conjunto ortogonal S= {U1, ..., Un } que gera o mesmo espaço S inicial.

Projeção ortogonal - Projeção ortogonal é um conceito de grande importância para a álgebra linear e vital para as aplicações estatísticas porque permite obter um vetor que tem a menor distância de um vetor considerado, critério que serve de base para o método dos quadrados mínimos. A definição que segue é fundamental para que se possa obter uma base ortonormal a partir de uma base de um subespaço W⊆ℝn.

Em uma função do 1º grau temos que a taxa de variação é dada pelo coeficiente a. Temos que uma função do 1º grau respeita a seguinte lei de formação f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e b ≠ 0. A taxa de variação da função é dada pela seguinte expressão:

Exemplo 1

Vamos através de uma demonstração provar que a taxa de variação da função f(x) = 2x + 3 é dada por 2.

f(x) = 2x + 3

f(x + h) = 2 * (x + h) + 3 → f(x + h) = 2x + 2h + 3 (h ≠ 0)

Dessa forma temos que:

f(x + h) − f(x) = 2x + 2h + 3 – (2x + 3)

f(x + h) − f(x) = 2x + 2h + 3 – 2x – 3

f(x + h) − f(x) = 2h

Então:

Observe que após a demonstração constatamos que a taxa de variação pode ser calculada diretamente, identificando o valor do coeficiente a na função dada. Por exemplo, nas funções seguintes a taxa de variação é dada por:

a) f(x) = –5x + 10, taxa de variação a = –5

b) f(x) = 10x + 52, taxa de variação a = 10

c) f(x) = 0,2x + 0,03, taxa de variação a = 0,2

d) f(x) = –15x – 12, taxa de variação a = –15

Exemplo 2

Observe mais uma demonstração comprovando que a taxa de variação de uma função é dada pelo coeficiente angular da reta. A função dada é a seguinte: f(x) = –0,3x + 6.

f(x) = –0,3x + 6

f(x + h) = –0,3(x + h) + 6 → f(x + h) = –0,3x –0,3h + 6

f(x + h) − f(x) = –0,3x –0,3h + 6 – (–0,3x + 6)

f(x + h) − f(x) = –0,3x –0,3h + 6 + 0,3x – 6

f(x + h) − f(x) = –0,3h

A taxa de variação de uma função do 1º grau é determinada nos cursos superiores através do desenvolvimento da derivada de uma função. Para tal aplicação precisamos estudar alguns fundamentos envolvendo noções de Cálculo I. Mas vamos demonstrar uma situação mais simples envolvendo a derivada de uma função. Para isso considere as seguintes afirmações:

A derivada de um valor constante é igual a zero. Por exemplo:

f(x) = 2 → f’(x) = 0 (lê-se f linha)

A derivada de uma potência é dada pela expressão:

f(x) = x² → f’(x) = 2*x2–1 → f’(x) = 2x

f(x) = 2x³ – 2 → f’(x) = 3*2x3–1 → f’(x) = 6x²

Portanto, para determinarmos a derivada (taxa de variação) de uma função do 1º grau, basta aplicarmos as duas definições demonstradas acima. Observe:

f(x) = 2x – 6 → f’(x) = 1*2x1–1 → f’(x) = 2x0 → f’(x) = 2

f(x) = –3x + 7 → f’(x) = –3

Por Marcos Noé

Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

Função do 1º Grau - Matemática - Brasil Escola

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