Resistencia Dos Materiais

Mediana

É um valor real que separa o rol em duas partes deixando à sua esquerda o mesmo número de elementos que a sua direita. Portanto, a mediana é um valor que ocupa a posição central em uma série.

Notação: A mediana será denotada por Md.

1 - Cálculo da Mediana

1º Caso – Dados brutos ou rol

Inicialmente devemos ordenar os elementos caso sejam dados brutos, obtendo o rol.

Em seguida determinamos o número n de elementos do Rol.

1.1 - Se n é ímpar – O Rol admite apenas um termo central que ocupa a posição . O valor do elemento que ocupa esta posição é a mediana.

Exemplo: Determinar a mediana do conjunto:

X: 2, 20, 12, 23, 20, 8, 12.

Solução: Ordenando estes elementos obtemos o rol. X: 2, 8, 12, 12, 20, 20, 23.

O número de elementos é n = 7 (ímpar), a posição do termo central é . A mediana é o quarto elemento do Rol: md = 12.

O valor 12 deixa à sua esquerda e à sua direita o mesmo número de elementos, sendo, portanto, o elemento central da série.

Quando lidamos com séries com um grande número de elementos, a quantidade de elementos à esquerda e à direita é aproximadamente 50% do total de elementos, o que conduz a seguinte interpretação genérica para a mediana: “50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 12 e 50% dos valores da série são valores maiores ou iguais a 12”.

1.2 – Se n é par – Neste caso, o rol admite dois termos centrais que ocupam as posições e . A mediana é convencionada como sendo a média dos valores que ocupam estas posições centrais.

Exemplo: Determinar a mediana da série X: 7, 21, 13, 15, 10, 8, 9, 13.

Ordenando os elementos, obtemos o rol X: 7, 8, 9, 10, 13, 13, 15 , 21

O número de elementos é n = 8 (par).

As posições dos termos centrais são: e

O elemento que ocupa a quarta posição na série é 10 e o elemento que ocupa a quinta posição é 13. Portanto,

Interpretação: 50% dos valores do rol são valores menores ou iguais a 11, 5 e 50% dos valores do rol são valores maiores ou iguais a 11,5.

2º caso – Variável discreta

Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta, eles já estão naturalmente ordenados.

Assim, basta verificar se o número de elementos da série é ímpar ou par e aplicar o mesmo raciocínio do caso anterior.

Para facilitar a localização dos termos centrais, construímos a freqüência acumulada da série.

Exemplo 1: Determinar a mediana da série:

xi fi

2 1

5 4

8 10

10 6

12 2

Solução: O número de elementos da série é n = (ímpar).

Portanto, a série admite apenas um termo central que ocupa a posição .

Construindo a freqüência acumulada podemos localizar com facilidade o décimo segundo elemento da série.

xi fi Fi

2 1 1

5 4 5

8 10 15

10 6 21

12 2 23

Note que o elemento que ocupa a primeira posição na série é 2. Em seguida aparecem quatro elementos iguais a 5. Estes elementos ocupam na série as posições de segundo a quinto. Depois aparecem mais dez elementos iguais a 8 que ocupam na série as posições de sexto a décimo quinto.

Conseqüentemente, o elemento que ocupa a décima segunda posição vale 8, e podemos afirmar que md = 8

Exemplo 2: Calcular a mediana da série:

xi fi

0 3

1 5

2 8

3 10

5 6

Solução: O número de elementos da série é 32 (par) e a série admite dois temos centrais que ocupam as posições: e . Para localizar estes elementos, construímos a freqüência acumulada da série.

xi fi Fi

0 3 3

1 5 8

2 8 16

3 10 26

5 6 32

As três primeiras posições da série são ocupadas por elementos iguais a 0. Da quarta à oitava posição os elementos são iguais a 2. Da décima sétima à vigésima sexta posição os elementos valem 3.

Portanto, o elemento que ocupa a décima sexta posição é 2 e o elemento que ocupa a décima sétima posição é 3 e, conseqüentemente, a mediana é:

Interpretação: 50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 2,5 e 50% dos valores da série são valores maiores ou iguais a 2,5.

3º Caso – Variável contínua

Se os dados são apresentados na forma de uma variável contínua, o raciocínio anterior não pode ser utilizado, uma vez que mesmo identificada a posição da mediana na série, o valor do elemento da série que ocupa esta posição não é identificável.

Utilizaremos um exemplo, para generalizar a fórmula de cálculo da mediana.

Considere a distribuição de freqüência:

Classe Int. Clas. fi

1 3⊢6 2

2 6⊢9 5

3 9⊢12 8

4 12⊢15 3

5 15⊢18 1

O