Resultantes de sistemas de forças

RESULTANTES DE SISTEMAS DE FORÇAS

Introdução:

Neste trabalho iremos discutir sobre resultantes de sistemas de forças.

Portanto como objetivo,o presente trabalho visa questionar o conceito do momento de uma força e mostrar como calculá-la em duas e três dimensões.

Fornecer uma técnica para determinar o momento de uma força em relação a um eixo determinado.

Definir o momento de binário.

Apresentar técnicas para determinar as resultantes dos sistemas de forças não concorrentes.

Apresentar como se faz a conversão de uma carga distribuída simples para uma resultante e seu ponto de aplicação.

Momento de uma força-formulação escalar

No momento em que uma força não central é empregada a um determinado corpo,a mesma produzirá uma tendência de rotação do corpo em volta de um ponto que não está na linha de ação da força.Algumas vezes ela é chamada de torque,mas normalmente é denominada momento de uma força.

[pic 1]

A intensidade do momento é  Mo=F.d  onde d é o braço da distância perpendicular do eixo no ponto O até a linha onde a força age.

As unidades da intensidade do momento são:N.m ou lb.ft

A direção de Mo é definida pelo seu eixo da distância,na qual é perpendicular ao plano que contém a força F e seu braço da distância d.

Produto vetorial

 O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C.

Ele é escrito dessa forma: C = A x B .

 A intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B vezes o seno do ângulo θ entre eles (0º ≤ θ ≤ 180º).

 Logo, C = AB sen θ.

 Para sabermos sobre sua  direção e a intensidade de C.

 Escrevemos desta maneira: C = A × B = (AB sen θ) uC

 Produto vetorial e suas propriedades

 A propriedade comutativa não é válida; ou seja, A x B ≠ B x A.

 Em vez disso, A x B = –B x A .

 O produto vetorial quando  for multiplicado por um escalar a,ele obedece à propriedade associativa; a (A x B) = (aA) x B = A x (aB) = (A x B) a

Ele também obedece à propriedade distributiva da adição.

Desta forma: A × (B + D) = (A × B) + (A × D)

 

Na forma cartesiana pode ser escrito como:

	i	j	k
A x B=	Ax	Ay	Az
	Bx	By	Bz

Momento de uma força – formulação vetorial

 MO = r × F

 Intensidade

MO = r F senθ

 Direção

 A regra da mão direita determina a direção e o sentido  do produto vetorial.

Princípio da transmissibilidade

Podemos usar qualquer vetor posição r medido do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação da força F .

Desta forma: Mo=r1 x F=r2 x F=r3 x F.

Formulação cartesiana 

Se estabelecermos os eixos coordenados x, y, z, então o vetor posição r e a força F podem ser expressos como vetores cartesianos:

	i	j	k
Mo = r x F=	r x	R y	R z
	Fx	Fy	Fz

 Se o determinante for expandido, temos:

 MO = (ryFz – rzFy) i – (rxFz – rzFx) j + (rxFy – ryFx) k

 O significado físico dessas três componentes do momento  torna-se evidente quando:

 MO = (ryFz – rzFy) i – (rxFz – rzFx) j + (rxFy – ryFx) k 

Momento resultante de um sistema de forças 

 Simbolicamente essa resultante  se escreve assim:

MOFR=Σn1Fn⋅X

Temos duas forças com sentido de atuação anti-horário em relação ao ponto O e uma em sentido horário. Aplicando a convenção dos sinais, teremos:

MOFR=F1⋅0,8+1,2+1,0–F2⋅0,8+1,2+F3⋅0,8

MOFR=(30,0)⋅(3,0)–(20,0)⋅(2,0)+(50,0)⋅(0,8)

MOFR=90,0–40,0+40,0=90,0Nm

Sendo as forças de mesma direção e sentido, podemos facilmente determinar a intensidade a resultante;

FR=30,0–20,0+50,0=F1+–F2+F3=60,0N

FR=60,0N

Para que essa força resultante produza o mesmo efeito do sistema, existe apenas um ponto em que ela pode ser aplicada. Para isso vamos usar a definição de momento e o Teorema de Varignon.

FR⋅XR=90,0

60,0⋅XR=90,0

XR=90,060=1,5

Exemplos:

1-) Ao fechar a porta de um carro, de 0,9 m de comprimento, nota-se que esta gira no sentido horário. Sabendo que a força aplicada à porta é de 4 N, qual será o valor da intensidade do Torque em relação ao ponto fixo da porta?

T = - F . d

d = 0,9m e F = 4 N

T = - 4 . 0,9

T = -3,6 N.m

2-) Uma força F=20 N i+ N .j-40 N .k = é aplicada num ponto P(4m, 6m, -3m). Pede-se determinar o momento desta força em relação à origem do sistema de coordenadas.

Solução:

 A equação do momento é MO= rOP XF  onde rOP é o vetor posição do ponto P em relação à origem, isto é:

 rOP = x i + y j + z k =4m.i+6m.j-3m.k

 Portanto temos  

	I	J	k		I	J	k
Mo=	X	Y	Z	=	4m	6m	-3m
	Fx	Fy	Fz		20N	10N	-40N

Ou seja,

Mo=(y.Fz - z.Fy).i – (x.Fz - z.Fx).j + (x.Fy - y.Fx).k

=[6m.(-40N)-(-3m).10N]i-[4m.(-40N)-(-3m).20N].j+[4m.10N-6m.20N)].k