Sistema Dinâmico

Os primórdios da teoria dos sistemas dinâmicos podem ser identificados já no século XVI, nos trabalhos de mecânica celeste escritos por Johannes Kepler. As contribuições de Isaac Newton à modelagem matemática através da formalização da mecânica clássica abriram espaço para uma sofisticação crescente do aparato matemático que modela fenômenos mecânicos, culminando nos trabalhos de Lagrange e Hamilton, que definiram a teoria da mecânica clássica num contexto matemático, que essencialmente é o mesmo estudado até hoje.

O matemático francês Henri Poincaré é considerado um dos criadores da teoria moderna dos sistemas dinâmicos, tendo introduzido muitos dos aspectos do estudo qualitativo das equações diferenciais que permitiram estudar propriedades assintóticas das soluções (ou da maior parte das soluções) de uma equação diferencial, como estabilidade e periodicidade, sem ser necessário resolver explicitamente a equação diferencial. Tal abordagem pode ser encontrada na sua obra-prima Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, publicada em três volumes entre 1892 e 1899.

Considera-se que o primeiro livro publicado na área de sistemas dinâmicos é a obra Dynamical Systems, escrita pelo matemático estado-unidense George Birkhoff, e publicada em 1927.

Entre as ferramentas mais utilizadas na teoria dos sistemas dinâmicos estão a geometria diferencial, a teoria da medida e a geometria simplética.

Geralmente, escrevemos \scriptstyle g.x para representar o elemento \scriptstyle A\left(x,g\right) de \scriptstyle X.

No caso em que \scriptstyle G = \mathbb{R} , dizemos que \scriptstyle (X,A) é um sistema dinâmico contínuo. No caso em que \scriptstyle G = \mathbb{N} ou \scriptstyle \mathbb{Z}, dizemos que \scriptstyle (X,A) é um sistema dinâmico discreto.

Quando \scriptstyle G não é um grupo, dizemos que \scriptstyle \left(X,A\right) é um sistema semidinâmico.

Geralmente, os sistemas dinâmicos discretos são definidos da seguinte maneira: se \scriptstyle f:X \rightarrow X é um homeomorfismo de um espaço topológico nele mesmo, definimos \scriptstyle A \left(x,k\right) = f^{k}(x) , onde \scriptstyle x \in X, e \scriptstyle k \in \mathbb{Z}. Os sistemas dinâmicos definidos desta forma são os objetos de estudo da dinâmica topológica.

Já os sistemas dinâmicos contínuos são, quase sempre, definidos quando \scriptstyle X é uma variedade suave, e \scriptstyle A é um fluxo definido a partir de um campo vetorial diferenciável sobre \scriptstyle M .

Seguindo a notação das definições anteriores, dizemos que:

X é o espaço de fase do sistema dinâmico.

\{G.x\}=\{g.x \mid g \in G\} é chamada de órbita de um x \in X.

Exemplos de comportamentos dinâmicos[editar código-fonte]

O tipo mais simples de comportamento dinâmico de uma órbita é a de um ponto fixo. Por definição, um ponto \scriptstyle x é ponto fixo caso sua órbita se reduza a somente um ponto.

Por exemplo, considerando o sistema dinâmico discreto sobre a reta real \scriptstyle \mathbb{R} definido pelas iterações da aplicação \scriptstyle x \mapsto -x , temos que o ponto 0 é um ponto fixo.

Em seguida, temos que o comportamento dinâmico mais simples para um ponto \scriptstyle x \in X pode ter é a periodicidade.

Isto significa que existe um elemento do grupo \scriptstyle g \in G tal que \scriptstyle A\left(x,g\right) = x .

No caso de um sistema discreto,