Sistemas de numeração

Sistemas Digitais e

Arquitectura de Computadores I

Módulo 1 – Sistemas de Numeração

Sistemas de Numeração

O número é um conceito abstracto que representa a ideia de quantidade. Pode ter uma representação simbólica, como no sistema romano, ou ter um peso de acordo com a posição que ocupa, como no sistema árabe, que usamos normalmente. A necessidade de contar e registar quantidades de objectos foi sentida pelo homem desde os primórdios da civilização.

Um sistema de numeração é o conjunto de símbolos utilizados para a representação de quantidades e as regras que definem a forma de representação.

O sistema de numeração mais simples é o de base unária ou seja cada objecto é representado por um símbolo. O termo símbolo designa um elemento representativo que está no lugar de algo que é representado por um objecto e determinado pela quantidade ou pela qualidade. Exemplos:

• 5 objectos podem ser representados por /////.

• Associar quantidades de 10 objectos e usar o símbolo * para as representar. Quantidades de 100 podem ser representadas por + e assim sucessivamente.

• Assim, 324 objectos podem ser representados por +++**////.

Desde que se começou a registar informações sobre quantidades, foram criados diversos métodos de representar as quantidades.

O método ao qual estamos familiarizados usa um sistema de numeração posicional. Isso significa que o valor de cada símbolo é determinado de acordo com a sua posição no número.

Um sistema de numeração é determinado fundamentalmente pela BASE, que indica a quantidade de símbolos e o valor de cada símbolo. Do ponto de vista numérico, o homem usa o sistema decimal.

Por exemplo, no sistema decimal (base 10), no número 125 o algarismo 1 representa 100 (uma centena ou 102), o 2 representa 20 (duas dezenas ou 2x101) e o 5 representa o 5 (5 unidades ou 5x100). Assim, na nossa notação:

125 = 1x102 + 2x101 + 5x100

A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação. Hoje a base 10 é a mais utilizada, embora não seja a única. No comércio pedimos uma dúzia de rosas (base 12) e também marcamos o tempo em minutos e segundos (base 60).

Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 24 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou eventualmente 23 (base 8 ou sistema octal).

Significância Posicional

Um número é representado por uma sequência de dígitos onde a posição de cada dígito tem um determinado peso associado. Por exemplo, o valor N de um número decimal de 4 dígitos A3A2A1A0 é dado por:

Cada dígito Ai tem um peso 10i. Sendo assim, o valor 6851 pode ser escrito da seguinte maneira:

O ponto decimal é utilizado para permitir, na representação do número, potências positivas e negativas de 10. O número A1A0,A-1A-2 tem o valor:

Por exemplo, o número 34,85 pode ser representado por:

Num sistema de numeração posicional genérico, a posição de cada dígito tem um peso associado Bi onde B é a base do sistema de numeração ou radical. O formato geral de um número neste sistema é:

Ap-1Ap-2 … A1A0A-1A-2 … A-n

em que existem p dígitos à esquerda do ponto, e n dígitos à sua direita.

A fórmula geral de significância posicional num sistema de base B é:

Exemplo: representar o número decimal 845 usando a fórmula geral de significância posicional.

O dígito mais à esquerda designa-se por dígito mais significativo (MSD – Most Significant Digit), enquanto que o dígito mais à direita é designado por dígito menos significativo (LSD – Least Significant Digit).

Sistema de numeração Decimal

Este é o sistema mais utilizado no dia-a-dia das pessoas, tendo sido baseado no facto do ser humano ter cinco dedos em cada mão, num total de dez dedos. Utiliza dez algarismos ou dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) tendo por base do sistema o número 10. A posição de cada dígito no número diz-nos que grandeza representa.

Se por exemplo pretendermos representar a grandeza 53, usamos o dígito 5 para representar a quantidade cinquenta e o algarismo 3 para representar a quantidade três. Assim, a posição de cada dígito num número decimal indica a amplitude da quantidade representada e é designada por peso.

Os pesos são potências de 10 e aumentam da direita para a esquerda, iniciando-se em 100=1.

O número decimal 286 pode representar-se numa expressão polinomial, como se indica:

200 = 2 x 102

80 = 8 x 101

6 = 6 x 100

286 = 2 x 102 + 8 x 101 + 6 x 100 = N(10)

Um número pode ser então representado por uma sequência de dígitos, representando a parte inteira do número, seguindo-se a vírgula e uma outra sequência de dígitos representando a parte fraccionária do número.

(N) = di… d3d2d1d0,d-1d-2d-3… d-k

Para a parte inteira, di (que é o número mais à esquerda) é o dígito mais significativo (MSD), porque é o que tem mais peso na parte inteira do número, e o d0 (que é o número mais á direita) é o dígito menos significativo (LSD), porque é o que tem menos peso na parte inteira do número.

Para a parte fraccionária, d-1 (que é o número mais á esquerda) é o dígito mais significativo (MSD), porque é o que tem mais peso na parte fraccionária do número, e o d-k (que é o número mais à direita) é o dígito menos significativo (LSD), porque é o que tem menos peso na parte fraccionária do número.

4137,65(10) = 4 x 103 + 1 x 102 + 3 x101 + 7x100 + 6x10-1 + 5x 10-2

O dígito 4 tem o peso 1000, o dígito 1 o peso 100,