Vibrações

INTRODUÇÃO

MOVIMENTO HARMÔNICO

[pic 1]

        Um movimento oscilatório pode se repetir regularmente, como no caso de um pêndulo simples, ou pode mostrar irregularidades consideráveis, como no caso do movimento do solo em um terremoto. Se o movimento é repetido depois de intervalos de tempos iguais, ele é chamado de movimento periódico. O tipo mais simples de movimento periódico é chamado de movimento harmônico.

[pic 2]

        Figura 1.1 – Movimento harmônico produzido por um mecanismo

        O movimento do ponto S na Fig. 1.1 pode ser expresso como

[pic 3]                                                        1.1

onde a velocidade e a aceleração pode ser obtida como

[pic 4]                                                                1.2

[pic 5]                                                        1.3

O movimento harmônico pode ser representado convenientemente por meio de um vetor [pic 6] de magnitude A girando com uma velocidade angular constante [pic 7]

[pic 8]

Figura 1.2 – Movimento harmônico como projeção de um vetor girante

A projeção da ponta do vetor [pic 9]no eixo vertical é dado por

[pic 10]                                                                1.4

e a projeção horizontal por

[pic 11]                                                                1.5

Pode ser mais conveniente a representação do movimento harmônico através de um número complexo

[pic 12]

Figura 1.3 – Representação de um vetor como um número complexo

[pic 13]                                                                        1.6

onde [pic 14] e “a” e “b” representam as componentes “x” e “y” de [pic 15], respectivamente. Se [pic 16] é o ângulo o vetor e o eixo x, então

[pic 17]                                                        1.7

com

        [pic 18]                                                                1.8

        [pic 19]                                                                        1.9

        A Eq. 1.7 também pode ser representada como

        [pic 20]                                                1.10

ou

        [pic 21]                                                                        1.11

onde [pic 22] representa a freqüência (rad/s) de rotação do vetor [pic 23] na direção anti-horária. A diferenciação do movimento harmônico em relação ao tempo fornece

        [pic 24]                                                1.12

        [pic 25]                                        1.13

        Portanto o deslocamento, a velocidade e a aceleração podem ser expressos como

        deslocamento=[pic 26]                                        1.14

        velocidade=[pic 27]                1.15

        aceleração=[pic 28]        1.16

onde Re representa a parte real

[pic 29]

        Figura 1.4 – Deslocamento, velocidade e aceleração como vetores rotativos

        Funções harmônicas podem ser somadas vetorialmente. Se [pic 30] e [pic 31] então a magnitude do vetor resultante é dada por

        [pic 32]                                        1.17

e o ângulo [pic 33] por

        [pic 34]                                                        1.18

        Desde que as funções originais são dadas como componentes reais, a soma [pic 35] é dada por [pic 36].

[pic 37]

        Figura 1.5 – Adição vetorial de funções harmônicas

Exemplo 1.1 – Encontre a soma de dois movimentos harmônicos [pic 38] e [pic 39]

Usando relações trigonométricas e desde que a freqüência é a mesma para [pic 40]e [pic 41], pode-se expressar a soma como

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