Álgebra

Exerccios de  Algebra Linear

Prof.:Sebasti~ao

18 de marco de 2015

1. Se A;B 2 Mn(R) e se AB = BA, prove que:

(a) (A 􀀀 B)2 = A2 􀀀 2AB + B2;

(b) (A 􀀀 B)(A + B) = A2 􀀀 B2;

(c) (A 􀀀 B)(A2 + AB + B2) = A3 􀀀 B3.

2. Determinar uma matriz A 2 M2(R) tal que A 6= 0 e A2 = 0 onde 0 e a

matriz nula.

3. Mostrar que as matrizes 

1 1

y

y 1



onde y 2 R r f0g, vericam a equac~ao matricial X2 = 2X.

4. Prove: Se A 2 Mn(R) e ATA = A ent~ao A e simetrica e A = A2.

5. Seja A = [aij ] uma matriz de ordem n. Determine quando A e simetrica.

(a) aij = i2 + j2;

(b) aij = 2i + 2j;

(c) aij = i2 􀀀 j2;

(d) aij = 2i3 + 2j3.

6. Determine os valores de  para os quais det(A) = 0.

(a) A =



 􀀀 2 1

􀀀5  􀀀 4



1

(b) A =

0

@

 􀀀 4 0 0

0  2

0 3  􀀀 1

1

A

7. Responda se as seguintes armac~oes s~ao falsas ou verdadeiras. Justi-

que sua resposta

(a) Se A e B forem matrizes invertveis de mesma ordem, ent~ao A+B

e invertvel.

(b) Se A e B forem matrizes singulares de mesma ordem, ent~ao A+B

e singular.

8. DEFINIC ~AO: Considere a matriz A = [aij ]nXn A matriz transposta

dos cofatores da matriz A e denominada matriz adjunta (classica) da

matriz A e sera denotada por AdjA.

Dada a matriz A

2

4

1 2 3

􀀀1 3 2

2 1 􀀀2

3

5, calcule:

(a) A sua adjunta AdjA.

(b) A matriz A􀀀1 inversa da matriz A.

(c) O determinante da matriz A, det(A).

(d) A matriz B dada por

1

det(A)

AdjA.

Observe que a matriz B obtida no item (d) e igual a matriz

inversa de A obtida no item (b). Isso n~ao e coincid^encia!!!

E

possvel provar que se A e uma matriz invertvel, nxn, com

n  2, ent~ao A􀀀1 =

1

det(A)

AdjA.

9. Uma matriz A de ordem n e dita idempotente se A2 = A.

(a) Mostre que

2

4

2 􀀀2 􀀀4

􀀀1 3 4

1 􀀀2 3

3

5 e idempotente.

(b) Mostre que se AB = A, BA = B, ent~ao A e B s~ao idempotentes.

2

(c) Se A e idempotente, mostre que B = I 􀀀 A e idempotente e que

AB = BA = 0.

10. Dada uma matriz A nxn, chamamos traco da matriz A, denotado por

tr(A) a soma dos elementos da diagonal principal, isto e,

tr(A) =

Xn

k=1

akk = a11 + a22 +


+ ann

Sejam A e B duas matriz de mesma ordem n, prove que:

(a) tr(A  B) = tr(A)  tr(B)

(b) tr(A) = tr(A), onde  e um escalar.

(c) tr(AB 􀀀 BA) = 0.

11. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, tal que An = In para algum

inteiro n. Mostre que A e invertvel. Qual e a inversa da matriz A?

12. Dizemos que uma matriz A e nilpotente se existir um inteiro k > 0,

tal que Ak = 0. Mostre que, se A e nilpotente, ent~ao A n~ao e invertvel.

use esse fato para mostrar que a matriz

2

664

0 0 0 0

1 0 0 0

2 3 0 0

4 5 6 0

3

775

n~ao e invertvel.

13. Resolva as equac~oes abaixo:

(a)



4 6 x

5 2 􀀀x

7 4 2x



= 􀀀128

(b)



3