O Método de Máxima Verossimilhança

Método de Máxima Verossimilhança

Método de Máxima Verossimilhança

O Método da Máxima Verossimilhança (MMV) é um dos melhores métodos para obter estimadores pontais de um parâmetro, sendo que o estimador de máxima verossimilhança de um parâmetro é o valor de , que maximiza a função de verossimilhança L().  Este método, cujas propriedades foram primeiramente estudadas por Fisher (1921) e está detalhadamente descrito em Lynch e Walsh (1998).[pic 1][pic 2]

A função de verossimilhança indica quão provável a amostra observada é como uma função de possíveis valores de parâmetro. Por tanto, maximizar a função de verossimilhança determina os parâmetros que têm maior probabilidade de produzir os dados observados. De um ponto de vista estatístico, o MMV é normalmente recomendado para grandes amostras porque ele é versátil, aplicável à maioria dos modelos e diferentes tipos de dados, e produz as estimativas mais precisas.

Função de Máxima Verossimilhança

A diferença entre a função de probabilidade ou função densidade de probabilidade e a função de verossimilhança está justamente em qual variável é considerada fixa e qual está variando. Quando consideramos a função de probabilidade,  é fixo enquanto x é variável, e quando consideramos a função de verossimilhança, a amostra observada x é fixa enquanto  é variável em relação aos valores paramétricos possíveis.[pic 3][pic 4]

O princípio de máxima verossimilhança é um dos procedimentos usados para se obter estimadores. Consideremos uma população e uma variável aleatória X relacionada a essa população, com função de probabilidade (se X é uma variável aleatória discreta) ou função densidade de probabilidade (se X é uma variável aleatória contínua) , sendo  o parâmetro desconhecido. Retiremos uma amostra aleatória simples de X, de tamanho n, X1,...,Xn, e sejam x1, ..., xn os valores efetivamente observados. A função de verossimilhança L é definida pela equação:[pic 5][pic 6]

[pic 7]

É importante observar que, para a obtenção dos estimadores de máxima verossimilhança, é necessário conhecer a distribuição da variável em estudo. As seguintes interpretações são dadas ao processo de estimação:

Variáveis Aleatórias Contínuas

A estimativa de máxima verossimilhança dos parâmetros desconhecidos (por exemplo, média e variância) é o valor de  que produz o valor máximo para L( x), ou seja, é o valor de  que maximiza a função densidade de probabilidade dos pontos amostrais, ou, ainda, que mais se assemelha aos dados produzidos pelas        observações de x.[pic 8][pic 9][pic 10]

 

Exemplo 1

        Seja X uma variável aleatória com Distribuição Normal com média  e variância . Tomemos uma amostra aleatória independente e igualmente distribuída X1,...,Xn de X. Qual o estimador de máxima verossimilhança para ?[pic 11][pic 12][pic 13]

        Como X ~ N (), a função densidade de X é:[pic 14]

           [pic 15],      [pic 16]

Assim, a função de verossimilhança é dada por:

[pic 17]

Ou seja,

[pic 18]

Para encontrar o Estimador de Máxima Verossimilhança para  devemos encontrar os valores de  e  para os quais a função de verossimilhança L(;x1,...,xn) é máxima. Para isso primeiramente aplica-se o logaritmo da função de verossimilhança, sendo denominada Função Suporte:[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23]

A primeira derivada da função suporte em relação a  é denominada Função Escore:[pic 24]

[pic 25]

A partir da função escore são obtidos os estimadores dos parâmetros igualando a função à zero:

[pic 26]

Sendo assim, o possível Estimador de Máxima Verossimilhança da média populacional [pic 27] é [pic 28]. Utilizando o Índice de Informação de Fisher, com o teste da segunda derivada, é possível verificar se realmente é um estimador de máxima verossimilhança, basta avaliar se realmente [pic 29] é ponto de máximo:

[pic 30]

Assim, conclui-se que [pic 31] é realmente um ponto de máximo e, portanto, o estimador de máxima verossimilhança para [pic 32]é  [pic 33].

        O estimador de máxima verossimilhança para a variância [pic 34]é encontrado de forma semelhante. Para isso, deriva-se a função suporte em relação a [pic 35], obtendo a função escore: 

[pic 36]

Então, iguala-se a função à zero:

[pic 37]

Pelo índice de Informação de Fisher, fazendo a segunda derivada, tem-se:

[pic 38]

Que avaliado em [pic 39]  é tal que: