Lógica Matematicamente

1. Teoria dos conjuntos________________________________

1. Conceitos primitivos

• A noção de conjuntos não é suscetível de definição precisa a partir de noções mais simples, ou seja, é uma noção primitiva.
• Os conceitos "primitivos" servem como definientia dos conceitos "derivados". Os primitivos, em si mesmos, permanecem indefinidos (por definição explícita).
• Pode-se considerar que eles são definidos apenas "implicitamente" pelo conjunto total de axiomas (postulados).
• O matemático russo Georg Cantor (1845 – 1918) é conhecido por ter elaborado a moderna teoria dos conjuntos. Foi a partir desta teoria que chegou ao conceito de número.
• “Chama-se conjunto o grupamento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados os elementos do conjunto”. CANTOR, Georg.

Na teoria dos conjuntos as noções consideradas primitivas são:

• Conjunto.
• Elemento.
• Pertinência entre elemento e conjunto.

1.  Conjuntos e Subconjuntos

Definição: Por um conjunto, deve-se entender qualquer coleção em um "M" todo de objetos "m" definidos e separados de nossa intuição ou nosso pensamento. Notação: M= {m}[pic 1]

     Corpo discente

     Classe de Marketing de 2014

     Manada de bisões

     Alcateia                                           CONJUNTOS                                    

     Tribo

     Pessoas

     Regimento de soldados

     

     Exemplos:

     (1) {1,2,3,4}

     (2) {}, o conjunto vazio.

     (3) {(x, y) | 3x - 5y + 3 = 0}

Conjunto unitário e conjunto vazio:

• Embora a noção de conjunto esteja associada à ideia de coleção de objetos, será bastante útil considerar conjuntos com um só elemento, chamados conjuntos unitários e também o conjunto sem qualquer elemento, chamado conjunto vazio. O conjunto vazio é denotado por ∅ ou por { } .

Exemplos:

∅ ={x | x é um número inteiro e 3x=1}
∅ = { x | x é um número natural e 3-x=4}

Conjuntos finitos:

• Intuitivamente, um conjunto é finito quando é possível contar ou enumerar seus elementos, e esta contagem termina. Por exemplo, o conjunto dos dias do mês de janeiro de 20X1 é finito, pois podemos contar seus elementos.

Relações entre conjuntos: Subconjuntos

• Definição: Se A e B são conjuntos, A é chamado subconjunto de B, escrito A ⊆ B, se cada elemento de A também é um elemento de B.
• Simbolicamente: A ⊆ B ⇔ ∀ x, se x ∈ A então x ∈ B

Subconjunto próprio

• Definição: Se A e B são conjuntos, A é subconjunto próprio de B se cada elemento de A está em B mas existe pelo menos um elemento de B que não está em A.
• Simbolicamente: A ⊂ B ⇔ A ⊆ B e A ≠ B

1.3 Elementos

        Um elemento de um conjunto pode ser uma pessoa, um bisão ou um número. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto. Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de retas é um conjunto no qual cada elemento (reta) é também conjunto (de pontos).

1.4 Pertinência entre elemento e conjuntos

        A relação de pertinência dá o relacionamento entre um elemento e um conjunto.

• Se m é um elemento de um conjunto M, escreve-se:

                                 

m ∈ M

• Se m não é um elemento de um conjunto M, escreve-se:

m ∉ M

1. Representação de Conjuntos_________________________

2.1 Pela designação de seus elementos

• Escreve-se os elementos entre chaves, separando-os por vírgula ou ponto e vírgula.

Exemplos:

{3,6,7,8} indica o conjunto formado 3, 6, 7 e 8;

{a;b;m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b e m.

{1, {2,3}, {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2,3} e {3}.

2.2 Pela propriedade de seus elementos

• Conhecida uma propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este fica bem determinado. O termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer, temos:

x ∈ A se, e somente se, x satisfaz P.

x ∉ A se, e somente se, x não satisfaz P.