Os Proposições Lógicas

Matemática Discreta

Logica

[pic 1]

1 – A - Sendo a e n inteiros pares, então, pela definição de número par:

a | n → 2k | 2k

Portanto, supondo que a^2 | n^2 também seja par, assim:

A^2 | n^2 → 2r^2 | 2r^2 → 4r | 4r → 2(2r^2) | 2(2r^2) → 2x | 2x (Com x = 2r^2)

Assim temos como resultado 2r – portanto, afirmação verdadeira.

[pic 2]

1-B - Assumindo que n é ímpar, então, pela definição n = 2r+1, assim a afirmação:

n^2 → (2r+1)2 → 4r+1. Ja que 8 e um número par (pela definição de divisibilidade de número par o 8 mod 2 = 0), então:

n^2 mod 8 = 1 e 4r+1 mod 2r = 1.

Portanto como o mod de 4r+1 por 2k e igual a 1 verdadeira

[pic 3]

1 – C - Supondo que a|c e b|c, sabe-se que, pela definição de divisibilidade, existe um inteiro x e y tais que a = c.x e b = c.y, respectivamente. Assim:

a | c → (c.x) | c e b | c → (c.y) | c

otendos a afirmacao a partir das premissas, temos que ab|c :

ab | c → (c.x) (c.y) | c → c (x.y) | c → c.r | c, portanto c.k|c é equivalente a afirmação original ab|c, então verdadeiro.

[pic 4]

2 - Definições

a divide b se existe um inteiro c tal que b = ac

Notação: a | b

Solução

Dado: a, b e c são inteiros positivos com a | bc e diferente de zero.

A declaração então afirma que a | b ou a | c

Contraexemplo

4 divide 36, porque 36 = 4,9 com 9 um número inteiro.

No entanto, 36 = 6,6 e 4 não divide 6 (como 6 = 4 + 2 com 0 <2 <4).

Assim, a afirmação é falsa para a = 4, b = c = 6.

[pic 5]

3 - Para que o r mod s ≠ 0, com ambos inteiros e s par, o valor do divisor r deve ser obrigatoriamente um numero impar, já que o resultado da divisão entre eles obtém o resto diferente de 0: r | s → 2a+1 | 2a e a mesma lógica pode ser aplicada quando n^2 : r^2 | y → (2a+1)^2 | 2a, portanto é possível encontrar valores para n que satisfaça a sentença: exemplo: n mod 10 = 3 → 13 mod 10 = 3 e n^2 mod 10 = 9 → 13^2 mod 10 = 9, concluímos portanto que a afirmação é verdadeira.