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Capítulo 2. Levantamento gravimétrico

Estas notas são a versão “zero” de alguma coisa que esperamos se transforme em um capítulo de um livro sobre métodos geofísicos em alguns anos. Por isso recomendamos as ler com muito cuidado e desconfiança (devem estar cheias de erros, inexatidões,...). O autor agradecerá qualquer comentário que, sobre elas, os eventuais leitores possam fazer. Março de 2007.

Introdução

Todo par de corpos de massas m e m1, respectivamente, separadas uma distância r, se atraem com uma força F dada pela Lei de Newton da Gravitação: 21..rmmGF= (1)

onde G = 6,67260 . 10-11 m3/(s2.kg) com erro de 100 partes por milhão.

Por isto, poderia se pensar que o método gravitacional proporciona um meio fácil e eficaz de detectar variações de massa (ou densidade de massa) em sub-superfície medindo a gravidade na superfície e analisando as diferenças entre as medidas. Mas, devido às pequenas diferenças que devem ser detectadas para que as medições tenham alguma utilidade com fins de exploração, o método é, em verdade, bastante sofisticado.

Para tentar fixar idéias, imaginemos duas esferas de Ósmio (o Ósmio tem uma das maiores densidades de massa ρ da natureza, ρ = 22,59 g/cm3 = 22.590 kg/m3) de uma tonelada (1000 kg) cada uma, separadas uma distância de 10 metros (suficiente para poder considerá-las como pontuais). Substituindo esses valores e o valor de G na Equação (1) obtemos: NrmmGF72112110.67260,6101000.1000.10.67260,6..−−===

Esta força é 1000000 vezes menor que a que a Terra exerce sobre uma formiga (a massa média de uma formiga é m = 20 mg = 20 x 10-6 kg, a massa da Terra é M = 6,976 x 1024 kg e o seu raio – no Equador - R = 6,367 x 106 m).

Dois fatores contribuem de forma decisiva para que a medida seja difícil:

i) Os corpos que tentamos detectar estão embebidos em outro material e, por tanto, as variações de g são proporcionais, não à densidade dos corpos senão, à diferença de densidades entre o corpo e o meio que o rodeia. Mesmo que a densidade dos materiais que encontramos na sub-superfície varie entre ~1,94 e ~7,60 g/cm3, as diferenças típicas de densidade que devem ser detectadas oscilam entre 0,3 e 0,7 g/cm3.

ii) A rápida diminuição da força gravitacional com a distância r (~1/r2). No exemplo das duas esferas de Ósmio, se aumentamos a distância entre as esferas dez vezes a força entre elas diminui cem vezes.

Relações fundamentais

Se considerarmos a Terra como uma esfera de raio R e massa M, podemos escrever a força gravitacional F que atua sobre um corpo de massa m na superfície do planeta assim: 2.RmMGF= (2)

Por outro lado, a força pode ser escrita também segundo a Segunda Lei de Newton:

amF.= (3)

onde a é a aceleração. Igualando as equações (2) e (3) obtemos para a aceleração: 2.RMGa=

essa aceleração independe do corpo em questão, recebe o nome de aceleração da gravidade e é representada pelo símbolo g, isto é: ()222624112/03185,978/7803185,910.367,610.976,5.10.67260,6.scmsmRMGg====− (4)

A unidade cm/s2 em Geofísica recebe o nome de Gal em memória a Galileu Galilei. Essa unidade, mesmo sendo pequena se comparada ao valor de g, é muito grande comparada às variações de gravidade que devem ser detectadas. Por isto, normalmente é usado o miliGal = 10-3 Gal. Outra unidade utilizada amplamente é a unidade de gravidade, representada pelo símbolo gu (de gravity unit em Inglês) e cuja relação com o Gal é 1 gu = 0,1 mGal.

Antes de finalizar este item é bom chamar a atenção para o fato de que a Equação (1) pode ser interpretada também da seguinte maneira: existe um campo gravitacional ocasionado pelo corpo de massa m e que atua sobre o corpo de massa m1. Esse campo pode ser escrito como (utilizamos o próprio g para não introduzir símbolos novos): rrmGgˆ.2=r (5)

ondeé o campo e grrˆé o vetor unitário que aponta de m1 para m.

Efeitos gravitacionais de algumas formas geométricas simples

Que o campo gravitacional possa ser escrito na forma da Equação (5) nos permite saber, entre outras coisas, que para o campo gravitacional (como para o caso do campo elétrico) é válida a Lei de Gauss. Para o caso gravitacional a Lei de Gauss toma a forma: Gmsdgπ4.−=∫rr (6)

onde é o campo gravitacional, o símbolo gr∫indica integração sobre uma superfície fechada, é o elemento de superfície (perpendicular à superfície em cada ponto e apontando para fora) e m é a massa contida no interior da superfície (ver Figura 1). Na Equação (6) foi incluído um sinal negativo que permitirá obter expressões mais compactas a seguir. A Equação (6) é válida sempre, mas se torna especialmente útil quando queremos calcular o campo gravitacional em casos de alta simetria. Para exemplificar esta afirmação resolvamos alguns casos simples: sdr

a) Consideremos uma massa pontual m (ver Figura 2a). Para poder utilizar a Equação (6) devemos escolher uma superfície que facilite o cálculo da integral. Neste caso, o problema tem simetria esférica e escolhemos uma superfície esférica de raio r centrada na massa. Em cada ponto dessa superfície, por simetria, o campo gravitacional aponta para a massa. Por outro lado, o elemento de superfície aponta na mesma direção mas no sentido oposto (para fora). Isto é, em toda a superfície o ângulo entre grsdrgr e sdré constante e igual a 180o. Por isso podemos escrever, .= g.ds.cos(180grsdro) = - g.ds. Por simetria também, já que todos os