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ATPS – MATEMÁTICA II

Etapas 1 e 2

Autores

NOME: ALENCAR APARECIDO LUNARDELLO     -  RA  2121206611	CURSO: Eng. Mecânica
NOME: BRUNO RODRIGUES DE OLIVEIRA RA     -  RA  2121198870	CURSO: Eng. Mecânica
NOME: CARLOS FABIANO SILVÉRIO                      -  RA  2121210293	CURSO: Eng. Elétrica
NOME: CLAUDINEI CANDIDO DOS SANTOS        -   RA  2149212413	CURSO: Eng. Elétrica
NOME: GIULIANO CHRISTIAN OLIVEIRA              -  RA  3242563523	CURSO: Eng. Elétrica
NOME: DIEGO HENRIQUE DE SOUZA                     -  RA  2140227583	CURSO: Eng. Produção
DISCIPLINA: Matemática II	DATA: 26/09/2011
PROFESSORA: MARCOS

Ribeirão Preto, 26 de setembro de 2011.

Índice

Índice        

ETAPA 1        

PASSOS        

Passo 1        3

Passo 2        6

Passo 3        9

Passo 4        10

ETAPA 2        11

PASSOS        11

Passo 1        11

Passo 2        14

Passo 3        14

Passo 4        16

ETAPA 1

Aula-tema: Integral Indefinida.

Esta etapa é importante para que o aluno compreenda o conceito de integral como função inversa à derivada.

Para realizá-la, é importante seguir os passos descritos.

PASSOS

Passo 1

Determine o conceito de primitiva de uma função e apresente dois exemplos.

No estudo da derivada primitiva, tínhamos uma função e obtivemos, a partir dela, uma outra, a que chamamos de derivada. Nesta seção, faremos o caminho inverso, isto é, dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma função original, que chamaremos de primitiva. Você deve observar, que é importante conhecer bem as regras de derivação e as derivadas de várias funções, estudadas na Unidade 5, para determinar as primitivas. O que acabamos de mencionar, nos motiva a seguinte definição:

Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f (x) em um intervalo I, se para todo [pic 2], tem-se [pic 3].

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1 A função [pic 4]é uma primitiva da função [pic 5], pois
[pic 6]

Exemplo 2 As funções [pic 7], [pic 8]também são primitivas da função [pic 9], pois [pic 10]

Exemplo 3 A função [pic 11]é uma primitiva da função [pic 12], pois [pic 13].

Exemplo 4 A função [pic 14]é uma primitiva da função                          , pois
[pic 15][pic 16]

Exemplo 6 Encontrar uma primitiva F(x), da função [pic 17], para todo [pic 18], que satisfaça a seguinte condição [pic 19].

Resolução: Pela definição de função primitiva temos [pic 20]para todo [pic 21], assim, F(x) será uma função cuja derivada será a função f (x) dada.

Logo, [pic 22], pois

[pic 23]
[pic 24], ou seja,
[pic 25].

Como F(x) deve satisfazer a condição F(1) = 4, vamos calcular o valor da constante k, fazendo x = 1 na função F(x) , isto é,

e resolvendo temos[pic 26] .  [pic 27]

Assim,[pic 28] .
Portanto,[pic 29] , é uma função primitiva e[pic 30], que satisfaz condição F(1) = 4 .[pic 31]

ou seja,
Como F(x) deve satisfazer a condição F(0) = 2, com isto vamos calcular o valor da constante k fazendo x = 0 na função F(x) , isto é,
[pic 32]
Assim, [pic 33]
Portanto, [pic 34]
é uma função primitiva de [pic 35]
que satisfaz a condição F(0) = 2.

No estudo da derivada primitiva, tínhamos uma função e obtivemos, a partir dela, uma outra, a que chamamos de derivada. A função primitiva é o processo inverso, isto é, dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma função original, que é denominada primitiva.

Exemplos:

1. A função F([pic 36][pic 37]) = [pic 38][pic 39]  é uma primitiva da função f([pic 40][pic 41]) = [pic 42][pic 43] 4.

Pois derivando [pic 44][pic 45]  temos: [pic 46][pic 47] d[pic 48][pic 49] = [pic 50][pic 51] = [pic 52][pic 53] = [pic 54][pic 55] 4.

1. A função F(x) = [pic 56][pic 57] é uma primitiva da função e-3x.

Pois derivando [pic 58][pic 59]  temos: [pic 60][pic 61] dx = [pic 62][pic 63] = [pic 64][pic 65] = [pic 66][pic 67]