Solos fotos que descrevem o passo a passo

[pic 1]

EETI – Escola de Engenharia e TI

UNIFACS – UNIVERSIDADE SALVADOR

Disciplina: Séries e Equações Diferenciais  

Professor : Everton Silva

4ª Lista de Exercícios

1) Resolva as seguintes  equações lineares homogêneas

1. y’’ + 2y’ – 3y = 0                        b)        y’’ − 4y’ + 13y = 0

c)        y’’ – y = 0                                d)        y’’ + 5y’ = 0

e)        4y’’ + 4y’ + y = 0                        f)        2y’’ − 3y’ + y = 0

g)        y’’ − 2y’ + y = 0                        h)        y’’ − 9y’ + 9y = 0

i)        y’’ - 2y’ – 2y = 0                        j)        y’’ + 2y’ + y = 0

k)        y’’ - 2y’ + 2y = 0                        l)        y’’ + 2y’ – 8y = 0

m)        9y’’ – 6y’+ y = 0                        n)        y’’ - 2y’ + 6y = 0

o)        y’’ + 2y’ + 2y = 0                        p)        y’’ + 6y’ + 13y = 0

q)        y’’ + 4y’ = 0     y(0) = 0     y’(0) = 1

r)        y’’ + 4y’ + 5y = 0     y(0) =1     y’(0) = 0

2) Resolva as seguintes equações não-homogêneas, utilizando o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução particular da equação completa.

a)   y’’ − 5y’ + 6y = 2ex                            b) y’’ + 2y’ + y = 3e−x

c)   y’’ + 9y = 9sec(3x)                        d) y’’ − y’ – 2y = 2e−x 

e)  y’’ + y = tgx                                 f) y’’ + 4y’ + 4y = [pic 2] 

g) y’’ + y = sec3x                                 h) y’’ − 2y’ + y = [pic 3]

3) Usando o método dos coeficientes a determinar, dê uma forma para uma solução particular para as seguintes equações

a) y´´ − 2y´ + y = xe2x ;	b) y´´ + y = xcosx + x2senx;
c) y´´ − y = cosx	d) y´´ + y = xsenx
e) y´´ −2y´ + y = ex + senx	f) y´´ − 2y´ = xe2x + 1

4) Resolva as seguintes equações não-homogêneas, utilizando o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular da equação completa

a)   y’’ − 5y’ + 6y = 2ex                                        b) y’’ + 2y’ + y = 3e−x

c)   2y’’ – 4y’ – 6y = 3e2x                                  d) y’’ − y’ – 2y = 2e−x 

e) y’’ + y’ − 2y = 2x;  y(0) = 0;   y’(0) = 1;      f) y’’ + 4y = x2 + 3ex ;   y(0) = 0;   y’(0) = 2

g) y’’ + 2y’ = 3 + 4sen(2x)                                h) y’’ + 9y = x2e3x +6                                  

i) y’’ − 2y’ + y = xex + 4   y(0) = 1   y’(0) = 1

j) 2y’’ + 3y’ + y = x2 + 3senx                            k) y’’ + y = 3sen(2x) + xcos(2x)

                 

Aplicação: Circuito  LRC

[pic 4]

Se i(t) é a corrente elétrica em um circuito em série LRC, então a queda de voltagem através do indutor, resistor e capacitor é apresentada no quadro abaixo                    

	Indutor	Resistor	Capacitor
	Indutância: L henrys	Resistência: R ohms	Capacitância: C farads
Queda de voltagem	[pic 5]	[pic 6]	[pic 7]

Pela 2a Lei de Kirchoff, a soma dessas voltagens é igual à voltagem E(t) impressa no circuito, isto é,

[pic 8] ( I )

Por outro lado, a carga q(t) no capacitor está relacionada com a corrente i(t) por

[pic 9] ( 1 )

Assim, [pic 10] ( 2 )

Substituindo ( 1 ) e ( 2 ) em ( I ) obtemos  a equação diferencial linear de 2a ordem

[pic 11]

Derivando ( I )  obtemos a equação tendo a corrente como incógnita:

[pic 12] 

A depender das raízes da equação característica correspondente o circuito será

• Superamortecido ( raízes reais e distintas)
• Criticamente amortecido ( raízes reais e iguais )
• Subamortecido ( raízes complexas )

5) Verifique se o circuito em série LRC é superamortecido, subamortecido ou criticamente amortecido

a) L = 3  henrys;  R = 10 ohms;   C = 0,1  farad