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SUMÁRIO[pic 1]

1.        OBJETIVO        2

2.        METODOLOGIA        3

2.1.        Representação da distância entre duas retas        3

2.2.        Equação de um plano        5

2.3.        Distância do plano ao ponto        6

2.4.        Ângulo entre reta e plano        7

2.5.        Equação de um plano        8

2.6.        Equação geral de um plano        9

2.7.        Exercício extra para aplicação do GeoGebra        10

1. OBJETIVO

Esse trabalho tem por objetivo usar o aplicativo GeoGebra para resoluções de exercícios de Geometria Analítica, descrevendo o processo e apresentando os resultados obtidos.

1. METODOLOGIA

Foram escolhidos dois exercícios, e em cima dos mesmos foi feito a representação em três dimensões da situação proposta.

1. Representação da distância entre duas retas

Dado o exercício 9, item b da lista 3:

“ Calcule a distância entre as retas r e s, dado:

r: x= -4+3 λ, y=4 λ, z=-5-2 λ

s: x=3+6 λ, y=7-4 λ, z=5- λ ”

• Dentro do GeoGebra, escolheu-se a opção 3D Graphic;
• Clicou-se na barra de entrada e inseriu-se o ponto A, pertencente a reta r. Para isso, foi dado um valor qualquer para a variável lambda, conforme demonstrado abaixo:

[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

• Com isso, o primeiro ponto para a reta r foi definido por            A=(-4,0,-5), o qual também foi inserido na barra de entrada
• A seguir, definiu-se valores para o ponto B, pertencente a reta r. Para isso, foi dado um valor para a variável lambda conforme demonstrado a seguir:

[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

• Com isso, um segundo ponto para a reta r foi definido por         B=(-1,4,-7), o qual também foi inserido na barra de entrada.
• Após a inserção de ambos os pontos, se inseriu a opção “reta” na barra de comando e selecionou-se os pontos A e B para mostrar no plano a reta que passa por ambos os pontos.
• Após termos uma representação da reta r, foi inserida na barra de entrada a reta s no aplicativo. Para isso, foi inserido, primeiramente, o ponto C, que corresponde aos pontos da reta s. Para isso, novamente foi definido um valor para a variável lambda, obtendo-se o ponto C= (3,7,5), conforme demonstrado a seguir:

[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

• A seguir, também foi definido valores para o ponto D, pertencente a reta s. Para isso, foi dado outro valor para a variável lambda na reta s, conforme demonstrado a seguir:

[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

• Com isso, o segundo ponto da reta s foi definido por D=(9,3,4), o qual também foi inserido na barra de entrada;
• Após a inserção dos pontos C e D, selecionou-se a opção “reta” a barra de comando e selecionou-se ambos os pontos para mostrar no plano a reta que passa por ambos os pontos.
• Com ambas as retas inseridas no mesmo plano, bastou girar a representação de maneira que o eixo das ordenadas fica-se alinhado com as retas. A seguir, pode-se comprovar a distância entre ambas somando, em módulo, os valores do eixo y entre as duas retas, obtendo-se assim 13 unidades de comprimento.
• Outra opção é digitar distância na barra de entrada e selecionar as duas retas.

Imagem 01: Print de tela da resolução do exercício 9, item b no GeoGebra- Distância entre as retas r e s

[pic 18]

Fonte: Autores, 2016

1. Distância do plano ao ponto

 Dado o exercício 27 da lista extra:

“Calcule a distância do ponto P (2, -3,5) ao plano 3x+2y+6z-2=0”

• Dentro do GeoGebra escolheu-se a opção 3D Graphic
• Clicou-se na barra de entrada e inseriu-se o ponto P (2, -3,5).
• A seguir inseriu-se o plano 3x+2y+6z-2=0.
• Na barra de entrada, digitou-se o seguinte comando: a=Distância[P,plano].
• O GeoGebra calculou a distância “a” entre o ponto P e o plano, dando a=4 unidades de comprimento.

Imagem 02: Print de tela da resolução do exercício 27 no GeoGebra-Distância de um plano ao ponto

[pic 19]

Fonte: Autores, 2016

1. Ângulo entre reta e plano

Dado o exercício 17, lista extra:

“Determine o ângulo formado pela reta y= -2x, z=2x+1 e o plano              x-y+5=0.”

• A partir da reta, é possível achar os pontos A (0,0,1), considerando inicialmente que x = 0, conforme demonstrado a seguir:

[pic 20][pic 21][pic 22]

•  Para o ponto  B (1, -2,3),foi considerado inicialmente que x =1:

[pic 23][pic 24][pic 25]

• Selecionando a opção “reta” no aplicativo, é possível selecionar dois pontos e fazer uma reta, portanto, selecionando os pontos A e B, faz-se a reta AB.
• A partir daí, seleciona-se a opção “ângulo” e aponta ao aplicativo qual é o ângulo que se deseja calcular. No caso, é entre a reta e o plano e, portanto, o ângulo encontrado foi de 45°.

Imagem 03: Print de tela da resolução do exercício 17 no GeoGebra-Ângulo entre reta e plano

[pic 26]Fonte: Autores, 2016

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