Correlação e Regressão

Correlação e Regressão – 4 bimestre

Correlação – Relações entre duas variáveis

DEFINIÇÃO: “Uma correlação é uma relação entre duas variáveis. Os dados podem ser representados por pares ordenados (x,y), onde x é a variável independente (ou explanatória) e y é a variável dependente (ou resposta).

Em diversas investigações deseja-se avaliar a relação entre duas medidas quantitativas. Por exemplo:

1. Considere os dados da tabela 1.1 abaixo referentes ao peso e ao consumo calórico de 10 indivíduos.

Tabela 1.1 - Pesos (kg) e consumo calórico (kcal) de 10 pessoas

n	(x) Peso (Kg)	(y) Calorias (kcal)
1	62	2400
2	75	3200
3	88	3800
4	70	3300
5	65	2800
6	58	2200
7	77	3400
8	55	2600
9	80	4000
10	48	2000

Três propósitos principais de tais investigações podem ser:

• para verificar se os valores estão associados. (Os valores de uma medida tendem a crescer (ou decrescer) à medida que a outra cresce?)
• para predizer o valor de uma variável a partir de um valor conhecido da outra.
• para descrever a relação entre variáveis. (Dado um aumento específico numa variável, qual o crescimento médio esperado para a segunda variável?)

A associação linear entre duas variáveis é avaliada usando correlação.

O primeiro estágio em qualquer um dos casos é produzir um gráfico de pontos dos dados para obter alguma ideia da forma e grau de associação entre duas variáveis.

Abaixo estão exemplos de dados com seus coeficientes de correlação correspondentes.

R = 0,4	R = 0,7	R = 1,0 (correlação linear positiva)
[pic 1]	[pic 2]	[pic 3]
R= - 0,3	R = - 0,6	R = -0,9 (correlação linear negativa)
[pic 4]	[pic 5]	[pic 6]

Interpretação do coeficiente de correlação

O valor de r está sempre entre - 1 e + 1, com r = 0 correspondendo a não associação. 

Usamos o termo correlação positiva quando r > 0, e nesse caso à medida que x cresce também cresce y, e correlação negativa quando r < 0, e nesse caso à medida que x cresce, y decresce (em média).

Quanto maior o valor de [pic 7] (positivo ou negativo), mais forte a associação.

 No extremo, se r = 1 ou r = -1  então todos os pontos no gráfico de dispersão caem exatamente numa linha reta. No outro extremo, se r = 0 não existe nenhuma associação linear.

[pic 8]

Mesmo tendo somente 10 observações, podemos ver que parece existir alguma associação entre peso (kg) e o consumo calórico (kcal) dos indivíduos.

Scatterplot of Calorias (kcal) vs Peso (Kg)

MTB > Correlation 'Peso (Kg)' 'Calorias (kcal)'.

 

Correlations: Peso (Kg); Calorias (kcal)

• Pearson correlation of Peso (Kg) and Calorias (kcal) = 0,937
• P-Value = 0,000
• R^2 = 0,8780

Coeficiente de determinação, R2

O quadrado do Coeficiente de Correlação de Pearson é chamado de coeficiente de determinação ou simplesmente R2. É uma medida da proporção da variabilidade em uma variável que é explicada pela variabilidade da outra. É pouco comum que tenhamos uma correlação perfeita (R2 = 1) na prática, porque existem muitos fatores que determinam as relações entre variáveis na vida real. No nosso exemplo, tivemos r =0,937, de modo que R2= (0,937 x 0,937) = 0,8780 ou 87,80%. Então cerca de 87,80% da variabilidade do peso (kg) pode ser descrito (ou explicado) pela variabilidade no consumo calórico (kcal) e vice-versa.

Fórmula para o Coeficiente de Correlação (r):

[pic 9]; onde n é o número de pares de dados.

Exemplo1. Encontrando o coeficiente de correlação.

Calcule o coeficiente de correlação para os dados dos gastos com propaganda e vendas da empresa informados. O que podemos concluir?

Gastos com propaganda (Milhões $)	Vendas da empresa (Milhões de $)	x.y	x^2	y^2
2,4	225	540	5,76	50625
1,6	184	294,4	2,56	33856
2	220	440	4	48400
2,6	240	624	6,76	57600
1,4	180	252	1,96	32400
1,6	184	294,4	2,56	33856
2	186	372	4	34596
2,2	215	473	4,84	46225
15,8	1634	3289,8	32,44	337558
[pic 10]	[pic 11]	[pic 12]	[pic 13]	[pic 14]

, onde n = 8