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PASSO 1

O conceito de derivadas e suas aplicações.

A derivada de uma função é o conceito central do calculo diferencial, ela pode ser adotada para mostrar a taxa de variação de alguma coisa em consequência das mudanças sofridas em outra, ou se uma função no meio de dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Exemplo, a taxa de variação da posição de um objeto quanto ao tempo, ou seja, sua velocidade é uma derivada.

Porem houve um grande percurso para se chegar neste conceito, iniciada na antiguidade em que os matemáticos Babilônios utilizavam tabelas, raízes quadradas e cubicas e os Pitágoras tentavam associar a altura do som das cordas com comprimento. Nesta época de conceito meio incerto as variáveis acabaram surgindo de forma implícita representada por gráficos e ate verbalmente.

No século XVII houve uma grande evolução Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas onde foi possível converter problemas geométricos em problemas algébricos permitindo observar analiticamente as funções, foi assim que sua aplicação pode ser utilizada em outras ciências.

 Os cientistas passaram a procurar e indicar a função que se associava as variáveis em estudo. A partir deste momento todo o estudo se desenvolveu em torno das propriedades de tais funções. Em outra visão a inclusão das coordenadas favoreceu os estudos das curvas já exploradas e permitiu a criação de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por associação entre as variáveis.

Em um momento do estudo Fermat percebeu as limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a mesma num único ponto. Considerou-se então essencial revisar tal conceito e buscar um método de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto, esta dificuldade ficou conhecida como “Problema da Tangente".

A solução veio de uma maneira muito simples conforme Fermat, para definir uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva, considerou a reta PQ secante à curva. Posteriormente fez deslizar Q através da curva em direção a P, atingindo deste modo às retas PQ que se aproximavam de uma reta T, a que Fermat nomeou de a reta tangente à curva no ponto P.

Fermat notou que para certas funções, nos pontos em que a curva apresentava valores extremos a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, deste modo, a dificuldade de determinar extremos e tangentes nas curvas passa a estar profundamente relacionados. 

Foi onde começa a surgir o inicio do conceito de Derivadas e levou Laplace a considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial".

No séc.XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, inserindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, assim como a notação Dx e Dy para indicar a menor possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”. 

Ainda que só no século XIX Cauchy inseria oficialmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial tornou-se um recurso cada vez mais importante pela sua utilidade aos mais variados campos da Ciência.

 A aplicação de derivadas é variada, onde ela esta sempre vinculada a uma taxa de variação. Conhecemos a derivada como um nível angular da reta tangente, no entanto ela pode ser usada para apontar o índice que um gráfico apresenta em uma curva que deve subir ou descer. Dentre as numerosas aplicações da derivada podemos apontar aspectos associados à: tempo, temperatura, volume, custo, pressão, consumo de gasolina, isto é, toda quantidade que possa ser representada por uma função.