Ceramicas

Introdução aos Limites

1 Noção intuitiva de limite

Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x y = 2x + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3,2 1,05 3,1 1,02 3,04 1,01 3,02

x y = 2x + 1 0,5 2 0,7 2,4 0,9 2,8 0,95 2,9 0,98 2,96 0,99 2,98

[pic 2][pic 3]

   Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1  (x[pic 4] 1), y tende para 3 (y [pic 5]3), temos:

[pic 6]

    Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
    Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x [pic 7]1). Não é preciso que x assuma o valor. Se f(x) tende para 3 (f(x) [pic 8]3), dizemos que o limite de f(x) quando x [pic 9]1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. 

2 Definição: Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio a. O limite da f(x) quando x tende a, será L, escrito como

[pic 10]

Se a seguinte afirmativa for verdadeira: dado [pic 11]> 0, qualquer, existe um [pic 12], tal que se 0 <[pic 13]<[pic 14]se,  então [pic 15].

Observe que se x estiver entre a - [pic 16]e a +[pic 17], então a f(x) estará entre L - [pic 18] e L +[pic 19]. Logo 0 <[pic 20]<[pic 21]1se,  então [pic 22]1.

No entanto, para qualquer escolha de [pic 23] > 0,  não importa quão pequeno seja, existe um [pic 24] > 0. Logo [pic 25].

Como já observamos no exemplo anterior, os valores da função f(x) tendem a um limite quando x tende a um número a, se o valor absoluto da diferença entre f(x) e L puder se tornar tão pequeno quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a. Ou seja,quando x se aproxima de a (x [pic 26]a), f(x) se aproxima de L (f(x)[pic 27]L).

                        [pic 28]

                        Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

                        [pic 29]

   Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x[pic 30]1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x[pic 31]1. E, no caso, y [pic 32]3. Logo, o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:

                          [pic 33]

   Se g: IR [pic 34]IR e g(x) = x + 2, [pic 35]g(x) = [pic 36](x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)[pic 37]f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

[pic 38]

É importante lembrar que não é necessário que a função esteja definida em x = a para que [pic 39]exista, além disso, mesmo que a função seja definida por x = a, é possível que[pic 40]exista sem tem o mesmo valor da f(a).

Como f não é necessariamente definida em a, não precisa haver no gráfico um ponto com a abscissa a.

Teoremas sobre Limites de funções

1. Teorema de Limite 1: Se m e b forem limites quaisquer, [pic 41]

Exemplos:

a) [pic 42]        

b) [pic 43]

1. Teorema de Limite 2: Se c for uma constante, então para qualquer número a,  [pic 44]

Exemplo: [pic 45]

1. Teorema de Limite 3:  [pic 46]

Exemplo: [pic 47]

1. Teorema de Limite 4:  Se [pic 48]e [pic 49], então [pic 50]

Exemplo:[pic 51]

1. Teorema de Limite 5: O teorema do limite 4 pode ser aplicado a um número qualquer finito de funções.  Se [pic 52], [pic 53], ...., [pic 54] então [pic 55]
2. Teorema de Limite 6:  Se [pic 56]e [pic 57], então [pic 58]

Exemplo: [pic 59]

1. Teorema de Limite 7: O teorema do limite 6 pode ser aplicado a um número qualquer finito de funções.  Se [pic 60], [pic 61], ...., [pic 62] então [pic 63]
2. Teorema de Limite 8:  Se [pic 64]e n for um inteiro positivo qualquer, então [pic 65].

Exemplo:[pic 66]

1. Teorema de Limite 9:  Se [pic 67]e [pic 68], então [pic 69]

Exemplo:[pic 70]

1. Teorema de Limite 10:  Se n for um inteiro positivo e [pic 71], então [pic 72], com a restrição de que se n for par, L>0.

Exemplo:[pic 73]