Interpolação

6-  INTERPOLAÇÃO

Trataremos, neste capítulo, dos seguintes tópicos:

• Definição
• Aplicações
• Interpolação Linear

Equação da Reta

• Interpolação Polinomial

Fórmula de Lagrange

6.1 Definição

Quando valores discretos de uma determinada função y = f(x) são conhecidos, valores intermediários podem ser obtidos utilizando técnicas de interpolação.

Em geral, dispõe-se de dados que são fornecidos em um conjunto discreto de valores, dentro de um contínuo de possibilidades. Entretanto, pode ser necessário fazer estimativas em pontos que estão entre os valores discretos, ou seja, não constam do conjunto. Ocorre, também, a situação na qual se faz necessária uma versão simplificada de uma função complicada. Ambas as aplicações são conhecidas como ajuste de curvas.

6.2 Aplicações

• Obtenção de valores intermediários em tabelas (crescimento de bactérias, consumo de água, energia, etc)
• Integração numérica
• Cálculo de raízes de equações
• Solução de EDOs

Por exemplo, se temos uma tabela com dados de uma função para a qual desconhecemos a sua expressão analítica e precisamos determinar f(x) para um valor de x qualquer, diferente dos valores dados, devemos recorrer às técnicas de interpolação:

x	F(x)
0	0,000
30	0,500
45	0,707
60	0,866

Quanto vale f(35)?

Para determinarmos o valor de f(x), precisamos, primeiramente, obter uma função que relaciona as variáveis x e y. Se essa função f(x) for um polinômio, teremos uma interpolação polinomial. Normalmente, os métodos de interpolação polinomial são utilizados para aproximar uma função f(x) quando f(x) é desconhecida (tem-se apenas valores de f(x) em um conjunto de pontos) ou quando f(x) é conhecida, mas de difícil manipulação. 

A aproximação de funções por polinômios é uma das ideias mais antigas do cálculo numérico e ainda das mais utilizadas. É fácil entender a razão. Os polinômios são facilmente computáveis, suas derivadas e integrais são, novamente, polinômios, seus zeros podem ser determinados com facilidade, etc. Portanto é vantajoso substituir uma função complicada por um polinômio que a represente.

6.3  Existência e unicidade do polinômio interpolador

        Sejam  n+1  pontos dados por (xi, yi), com  y = f(x) e  i = 0, . . . , n   onde  xi ≠ xj  para i ≠  j. Então existe um único polinômio de grau máximo n que passa por esses pontos, os quais são chamados de nós de interpolação.

Obs: contagem começa em zero, portanto tem-se n+1 pontos na expressão

É importante lembrar que o polinômio interpolador  ─  Pn(x)  ─  é apenas uma aproximação da função, ou seja Pn(x) ≠ f(x), mas os resultados podem ser bem aceitos, considerando-se um erro admissível.

O erro de interpolação, num certo ponto de abscissa x, é:    

En(x) = f(x) – Pn(x)

É claro que, se x for um dos nós, o erro é zero.

 6.4  Métodos de Interpolação

Dizemos que a interpolação é:

Linear: se o polinômio interpolador for de 1º grau;

Quadrática : se o polinômio interpolador for de 2º grau;

Lagrange: se o polinômio interpolador for de grau n;

6.5  Interpolação Linear

A interpolação linear é uma linha que se ajusta a dois pontos. Sendo A (a, f(a)) e B (b , f(b)) os dois pontos conhecidos, temos que P1(x) é o polinômio de 1º grau (reta) que se aproxima da função f(x) dada, conforme a figura abaixo.

[pic 1]

Equação da reta

Se conhecemos os pontos A(a, f(a) ) e B ( b , f (b) ), podemos escrever a equação da reta que passa por esses dois pontos o que nos dá, consequentemente, a expressão matemática de P1(x)

f(x)  ≈  P1(x)  =  f(a) + (x – a).  [pic 2]

Sendo P1(x) um polinômio de 1º grau, podemos considerá-lo como: P1(x) = a1x + a0

Aplicando as coordenadas dos dois pontos na expressão acima, montamos um sistema de duas equações cujas incógnitas são a1  e a0. A solução do sistema nos permitirá escrever a expressão matemática de P1(x).

Obs: qualquer método de obtenção da equação da reta dados dois de seus pontos, visto em Geometria Analítica, também pode ser utilizado.

Exemplo 1:

Seja a função f(x) definida pelos pontos (0,00;1,35) e (1,00;2,94). Determinar o polinômio interpolador de 1º grau que fará a aproximação da função e o valor aproximado de f(0,73)

Sendo P1(x) = a1x + a0 ,    temos: [pic 3]

Resolvendo-se o sistema temos:  a0  = 1,35   e    a1 = 1,59

P1(x) = 1,59x + 1,35

P1(0,73) = 1,59 . 0,73 + 1,35 = 2,51

Exemplo 2:

Seja a função f(x) = x2 -3x + 1. Usando os valores de x (x1 = 1,0 e x2  = 1,5) e os valores correspondentes de f(x1) e f(x2), calcular o valor aproximado para f(1,2)

Os pontos a serem considerados serão: (x1 ; f(x1))  e (x2 ; f(x2)) .

Calculando os valores de f(x1)  e f(x2), teremos: f(1,0) = (1,0)2 - 3.(1,0) + 1 = -1   e  

 f(1,5) = (1,5)2 - 3.(1,5) + 1 = -1,25