A HETEROCEDASTICIDADE

Econometria II

Notas de aula: Heterocedasticidade

(Gujarati; Porter, cap. 11, 2011)^[1]

                

Ana Cristina L. Couto

Ponto central: discutir problemas relacionados com a estimação de modelos quando os resíduos não são homogêneos.

4ª. hipótese básica do MQO _        

→ Homocedasticidade ou variância constante de ui: a variância do termo de erro é a mesma independentemente do valor de X.

homo = igual;

cedasticidade = espalhamento

→ É desejável que a variância dos erros ui gerados pela estimação de um modelo seja constante.

Sob a hipótese básica 4, a variância do erro é um número constante igual a σ2.

E(ui2) = σ2               i = 1,2,3,....,n

Conforme equação 3.2.2 (p. 87) e ainda como se pressupõe que E(ui) = 0:

Var(ui) = E[ui – E(ui)]2

Var(ui) = E[ui2 – 2uiE(ui) + E(ui)2]

Var(ui) = E(ui2) = σ2

em que σ2 é uma constante.

Exemplo de homocedasticidade:

[pic 1]

Figura 11.1: Erros homocedásticos.

→ Sob homocedasticidade, a variância condicional de Y dado X permanece a mesma independentemente do valor de X.

No entanto, há casos em que os erros não são homocedásticos, isto é, são heterocedásticos.

[pic 2]

Figura 11.2: Erros heterocedásticos.

→ Neste caso, as variâncias não são as mesmas: elas variam de observação para observação.

Agora, com erros heterocedásticos:

Var (ui) = E[u i2] = σi2

Razões para que as variâncias de ui sejam variáveis, isto é, não constantes:

1. Modelos de erro-aprendizagem

Exemplo: número de erros de digitação versus número de horas de prática de digitação.

[pic 3]

Figura 11.3: Ilustração de heterocedasticidade.

1. Exemplos como consumo em função da renda, poupança em função da renda

1. Técnicas de coleta aprimoradas de dados levam à menor  σi2

1. Dados discrepantes (outliers)

[pic 4]

Figura 11.4: Relação entre os preços das ações e os preços ao consumidor.

1. Erros de especificação do modelo (omissão de uma variável importante)

Ex.: Função demanda de um produto. Se não incluirmos os preços de produtos complementares ou substitutos, os resíduos podem não ser constantes.

1. Assimetria na distribuição de um ou mais regressores.

Exemplos: renda, riqueza, educação.

1. Outras fontes:

1. Transformação incorreta dos dados (proporcionais ou primeira diferença)

1. Forma funcional incorreta (modelos lineares versus log-lineares)

OBS.: Heterocedastcidade X Dados de corte Transversal X Dados de séries temporais

O problema da heterocedasticidade é mais comum nos dados de corte transversal (dados sobre unidades econômicas num dado ponto do tempo) do que nas séries temporais (em que temos dados ao longo do tempo sobre uma unidade econômica, como uma firma, uma família ou mesmo toda a economia).

Os dados de corte transversal envolvem observações sobre unidades econômicas como famílias, firmas, pessoas, domicílios, consumidores. As observações possuem diferentes magnitudes.

Já nos dados de séries temporais, as variáveis tendem a ser de magnitudes similares, porque os dados costumam ser coletados para a mesma entidade ao longo de um período de tempo. Exemplos: PIB, gastos com consumo, poupança, emprego.

Veja: Tabela 11.1 Remuneração por funcionário em setores de produção de bens não duráveis de acordo com o número de funcionários

→ Em média as empresas grandes pagam mais do que as pequenas; há muita variabilidade na remuneração entre as várias categorias.

Figura 11.6 Desvio padrão e remuneração média

→ O desvio padrão da remuneração aumenta com o valor médio da remuneração.

[pic 5]

Figura 11.6 Desvio padrão e remuneração média

11.2 Estimativa dos MQO na presença de heterocedasticidade

O que acontece com os MQO e suas variâncias se introduzirmos a heterocedasticidade fazendo E(ui2) = σi2, mas mantivermos as demais hipóteses do modelo clássico?

Seja o modelo:

Yi = β1 + β2Xi + ui

O estimador de B2 é:

2 =                                             (11.2.1)[pic 6][pic 7]

Mas a variância agora é dada pela expressão a seguir (conforme apêndice 11A):