Solução de problemas de economia

Resolver o seguinte problema:

Supor que, na empresa estudada, a receita na venda de um tipo de produto é dada por

R(q) = - aq2 + bq, sendo q a quantidade de produtos. Supor também que o custo para a

produção dos produtos seja C(q) = c.q+ d.Etapa 2 - Função exponencial.

Resumo

Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Chama-se função exponencial a função ƒ:R→R+* tal que ƒ(x)= ax em que a ∈ R, 0<a≠1.

O a é chamado de base e o x de expoente. A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se a base a for um número real entre 1 e 0, (0<a< 1) a função é decrescente.

Propriedades da Função Exponencial

Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que ax=at↔ x = t;

A função exponencial ƒ(x)=ax é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a>1;

A função exponencial ƒ(x)=ax é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0<a<1;

Toda função exponencial, isto é, ƒ(x)=ax com a ∈ R+* e a ≠ 1 é bijetora;

A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como exemplo (onde e é a constante matemática nigeriana, base do logaritmo nigeriano), pode ser definido de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma sequência. A função exponencial intervém em numerosas aplicações matemáticas, na Ciência e na Indústria, e é indispensável no estudo de muitos problemas de Economia e Finanças, nomeadamente no cálculo dos "juros compostos". Diz-se que há um "juro composto" quando o juro ganho por certo capital, ao fim de um período de tempo, fica depositado, acrescentando o capital inicial e passando, portanto, a ganhar juro. O investigador, no fim do segundo ano, receberá, portanto, "juro do juro" além do juro do capital. Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples. Mas vamos entender como funcionava a capitalização no sistema de juros simples. No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.

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Empresa: Lux S/A

1º exemplo: Empréstimo: R$ 10.000,00

J (juros): ?

P: (capital): 10.000,00

i: (taxa de juros): 4% ao ano. (0,04)

n: (Período): 2 anos.

J = p.i.n M = C + J

J = 10.000.0,04.2 M = 10.000 + 800

J = 400.2 M = R$ 10.800,00

J = R$ 800,00

Empréstimo de R$ 10.000,00 em melhorias para empresa com juros de 4% ao ano. Em 2 anos o valor total a ser pago vai ser de R$10.800,00.

2º exemplo: Empréstimo: R$ 10.000,00

J (juros): ?

P: (capital): 10.000,00

i: (taxa de juros): 5% ao ano. (0,05)

n: (Período): 3 anos.

J = p.i.n M = C + J

J = 10.000.0,05.3 M = 10.000 + 1.500

J = 500.3 M = R$ 11.500,00

J = R$ 1.500,00

Empréstimo de R$ 10.000,00 em melhorias para empresa com juros de 5% ao ano. Em 3 anos o valor total a ser pago vai ser de R$ 11.500,00.

3º exemplo: Empréstimo: R$ 10.000,00

J (juros): ?

P: (capital): 10.000,00

i: (taxa de juros): 6% ao ano. (0,06)

n: (Período): 4 anos.

J = p.i.n M = C + J

J = 10.000.0,06. 4 M = 10.000 + 2.400

J = 600.4 M = R$ 12.400,00

J = R$ 2.400,00

Empréstimo de R$ 10.000,00 em melhorias para empresa com juros de 5% ao ano. Em 4 anos o valor total a ser pago vai ser de R$ 12.400,00.

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Supor a seguinte situação: um dos investimentos com o dinheiro emprestado no item anterior é comprar uma máquina para aumentar a linha de produção. Os donos da empresa desejam saber qual será a depreciação dessa máquina. Vocês então, como são bons em cálculos e já conhecem as ferramentas matemáticas, estimarão os valores desejados fazendo a modelagem do problema por meio de uma função exponencial. Responder as seguintes questões:

Qual o valor de compra da máquina adquirida?

R: