Tesasd
Ensaio: Tesasd. Pesquise 862.000+ trabalhos acadêmicosPor: tetsuokaneta • 27/10/2013 • Ensaio • 1.421 Palavras (6 Páginas) • 291 Visualizações
ETAPA 1:
2. Fazer um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborar um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.
CONCEITOS DE INTEGRAIS INDEFINIDAS:
A integração indefinida ou antiderivação é a operação inversa da derivação, da mesma forma que a subtração é a operação inversa da adição ou a divisão é a operação inversa da multiplicação.
Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).
Exemplos:
1. Se f(x) = , então é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é .
2. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3.
3. Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.
Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é x3+C, onde C é uma constante real.
Propriedades das integrais indefinidas
São imediatas as seguintes propriedades:
1ª. , ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.
2ª. , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.
3ª. , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.
Integração Por Substituição
Seja expressão .
Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:
,
Admitindo que se conheça .
O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.
CONCEITOS DE INTEGRAIS DEFINIDAS:
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:
Onde:
• a é o limite inferior de integração;
• b é o limite superior de integração;
• f(x) é o integrando.
Se representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para
Se representa a área entre as curvas, para
A integral definida, nos exemplos vistos, representa uma área, o que ocorre em muitos casos, e é uma das formas de se apresentar a integral definida.
De forma geral, para , a área limitada por f(x) e o eixo x, é dada por ,que pode representar a soma das áreas de infinitos retângulos de largura e cuja altura é o valor da função num ponto do intervalo da base:
Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos através das abscissas x0=a, x1, x2,...,xn=b, obtemos os intervalos (a, x1), (x1, x2), ...., (xn-1, b). Em cada intervalo (xi-1, xi) tomemos um ponto arbitrário hi.
Seja De acordo com a figura, os retângulos formados têm área
Então, a soma da áreas de todos os retângulos é:
que nos fornece um valor aproximado da área considerada.
Aumentando o número n de subintervalos , tal que tenda a zero e o número n de subintervalos tenda a infinito , temos as bases superiores dos retângulos e a curva praticamente se confundindo e, portanto, temos a área considerada.
Simbolicamente, escrevemos:
Exemplo:
Seja a área entre y = x e o eixo x, para :
...