Calculo Numerico

Sum´ario

1 Conceitos B´asicos 1 1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Espa¸co Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Processo de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Proje¸c˜ao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Auto-Valores e Auto-Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 An´alise de Arredondamento em Ponto Flutuante 32 2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Sistema de Nu´meros Discreto no Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Representa¸c˜ao de Nu´meros no Sistema F(β,t,m,M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Opera¸c˜oes Aritm´eticas em Ponto Flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5 Efeitos Num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.1 Cancelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.2 Propaga¸c˜ao do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5.3 Instabilidade Num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.4 Mal Condicionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Equa¸c˜oes n˜ao Lineares 55 3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Itera¸c˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 M´etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4 M´etodo das Secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.5 M´etodo Regula Falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.6 Sistemas de Equa¸c˜oes n˜ao Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.6.1 Itera¸c˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.6.2 M´etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.7 Equa¸c˜oes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7.1 Determina¸c˜ao de Ra´ızes Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.2 Determina¸c˜ao de Ra´ızes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.7.3 Algoritmo Quociente-Diferen¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.8 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.9 Problemas Aplicados e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

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4 Solu¸c˜ao de Sistemas Lineares: M´etodos Exatos 108 4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2 Decomposi¸c˜ao LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.4 M´etodo de Gauss-Compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5 M´etodo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.6 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss com Pivotamento Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.7 Refinamento da Solu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.8 Mal Condicionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.9 C´alculo da Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.10 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.11 Problemas Aplicados e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5 Solu¸c˜ao de Sistemas Lineares: M´etodos Iterativos 156 5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.2 Processos Estacion´arios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.2.1 M´etodo de Jacobi-Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.2.2 M´etodo de Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3 Processos de Relaxa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.3.1 Pr´ıncipios B´asicos do Processo de Relaxa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.3.2 M´etodo dos Gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.3.3 M´etodo dos Gradientes Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.4 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.5 Problemas Aplicados e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6 Programa¸c˜ao Matem´atica 191 6.1 Espa¸co Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7 Determina¸c˜ao Num´erica de Auto-Valores e Auto-Vetores 192 7.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.2 M´etodo de Leverrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.3 M´etodo de Leverrier-Faddeev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.4 M´etodo das Potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.4.1 M´etodo da Potˆencia Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.4.2 M´etodo das Potˆencias com Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.5 Auto-Valores de Matrizes Sim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.5.1 M´etodo Cl´assico de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.5.2 M´etodo C´ıclico de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.6 M´etodo de Rutishauser (ou M´etodo LR) . . . . . . . . . . . . . . .