SIMULADO PARA VESTIBULAR TESTE, TCHUCA

[pic 1]

           

 

                                                                                                                                                                                                [pic 2]

Prof.(s): Judson Santos - Luciano Santos - Carlos Henrique

[pic 3]

2º Simulado ITA / IME

01)(OMESPANHA) função f : ℜ→ℜ satisfaz à equação funcional x2f(x) + f(1 – x) = 2x – x4. A expressão de f(x) é:

a) x2 + 1              b) x2 – 1              c) 1 – x2                d) x4 + 1               e) 1 – x4

02)(EUA) Seja f(n) = [pic 4]. Então, f(n + 1) – f(n – 1), expresso em termos de f(n), é igual a:

a) f(n)/2           b) f(n)                c) 2f(n) + 1              d) (f(n))2           e) [(f(n))2 – 1]/2

03)(OMHONG-KONG) Para todos os inteiros x, a função f(x) satisfaz f(x + 1) = [pic 5]. Se f(1) = 2, calcule f(2003)

04)(OMRN) Sabendo-se que A0 = A e que [pic 6], qual é o valor de A1996 ?

[pic 7]

05)(EUA) O produto dos fatores inteiros positivos impares menores que 10000 é igual a:

[pic 8]

06)(EUA) Defina a seqüência real de números a1, a2, a3, .... e a1 = 1 e [pic 9] para n ≥ 1. Então a100 é igual a:

a) 3333                 b) 3399                c) 9933                 d) 9999                   e) 99100

07)(EUA) Qualquer número que pode ser representado como nas figuras seguintes é chamado número triangular.

                                                                    ∙

                                    ∙                           ∙     ∙

              ∙                ∙      ∙                   ∙      ∙     ∙

∙         ∙     ∙         ∙     ∙      ∙           ∙     ∙       ∙     ∙         

(1)        (3)                 (6)                            (10)

Se tn representa o n – ésimo número triangular. Então o valor da expressão :

[pic 10]

08)(AUSTRALIA – 2002)Uma seqüência a1 , a2 , a3 , .......  é definida por [pic 11]. Dado que a1 = 2 e a2 = 5, qual é o valor de a2002 ?

09)(OMSE) Para cada inteiro positivo n, seja f(n) = [pic 12] 

Calcule o valor de f(1) + f(3) + f(5) + ........ + f(999997) + f(999999)

10)(OBM)Na seqüência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … cada termo, a partir do

terceiro, é igual à soma dos dois termos anteriores.

Quanto vale a soma infinita

[pic 13]

onde o n-ésimo termo é o n-ésimo termo da seqüência de Fibonacci dividido por 2n?

11)(OMCHILE – 2005)Para todo entero positivo n se define como:

                             [pic 14]

Calcula f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + .......+ f(40)

12)(OMCAMPINENSE – 2003) Para todo número real positivo, seja a função [pic 15] definida por [pic 16] 

Calcule o valor mínimo de [pic 17].

13)(HUNGRIA-1996)Definimos a seqüência [pic 18]para n > 1. Expresse an em função de n.

14)(OMSP – 2002)

[pic 19]

15)(OMMG – 2005) Seja f : N → Z uma função dos números naturais nos números inteiros que cumpre as seguintes propriedades:

• f(1) = 1.

• f(2k + 1) = f(2k) + 1.

• f(2k) = f(k) - 2

Então f(2004) é:

a) -11     b) -12   c) -13        d) -14

16)(OBM – 2005) A função[pic 20] satisfaz [pic 21] para todos os números reais x e y. Sabendo que [pic 22], calcule f(2005).

17)(OBM – 2001) Seja  f  uma  função  de  Z  em  Z  definida  como  f(x) = x/10  se  x  é  divisível  por  10  e f(x) = x + 1 caso contrário. Se a0 = 2001 e an+1 = f(an), qual é o menor valor de n para o qual an = 1?