Análise De Funções

ANÁLISE DE FUNÇÕES

É possível analisar uma função, bem como construir o seu gráfico, usando os conhecimentos sobre função, derivada, estudo de sinal. Organizei nesse texto, as principais ideias sobre a análise de uma função. Leia com atenção e faça um resumo em seu caderno do conteúdo.

Relembrando...

Pontos críticos são aqueles onde f’(x) = 0 ou f é não diferenciável.

Quando uma função f tiver um máximo ou um mínimo relativo em x0, se diz que f tem um extremo relativo em x0. Esses extremos relativos, se houver, ocorrem em pontos críticos.

• Crescimento e Decrescimento

Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b).

(i) Se f’(x) > 0 para todo valor de x em (a,b), então f é crescente em [a,b].

(ii) Se f’(x) < 0 para todo valor de x em (a,b), então f é decrescente em [a,b].

(iii) Se f’(x) = 0 para todo valor de x em (a,b), então f é constante em [a,b].

Teste da derivada primeira. Suponha f contínua em um ponto crítico x0.

(i) Se f’(x) > 0 em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de x0 e f’(x) < 0 em um intervalo aberto ampliando-se à direita de x0, então f tem um máximo relativo em x0 .

(ii) Se f’(x) < 0 em um intervalo aberto ampliando-se à esquerda de x0 e f’(x) > 0, em um intervalo aberto ampliando-se à direita de x0, então f tem um mínimo relativo em x0 .

(iii) Se f’(x) tiver o mesmo sinal, positivo ou negativo, antes e depois de x0, então f não tem extremo relativo em x0.

• Concavidade

Teorema: Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I.

(i) Se f’’(x) > 0 em I, então f tem a concavidade voltada para cima em I.

(ii) Se f’’(x) < 0 em I, então f tem a concavidade voltada para baixo em I.

Teste da derivada segunda. Suponha que f seja duas vezes diferenciável em um ponto x0.

(i) Se f’(x0) = 0 e f”(x0) > 0, então f tem em x0 um mínimo relativo.

(ii) Se f’(x0) = 0 e f”(x0) < 0, então f tem em x0 um máximo relativo.

(iii) Se f’(x0) = 0 e f”(x0) = 0, então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo relativo ou nenhum dos dois em x0.

• Pontos de inflexão

Os pontos de inflexão são aqueles onde o gráfico muda de côncavo para cima para côncavo para baixo ou vice-versa.

Através da análise da derivada segunda, percebemos que os pontos de inflexão acontecem quando o sinal dessa função muda de positivo para negativo ou de negativo para positivo. Por isso, para se determinar os pontos de inflexão é importante que