Base Para Estudo

Manual básico de consulta matemática

PROPRIEDADE DAS POTÊNCIAS

Na operação com potências, ao efetuarmos a sua resolução podemos utilizar algumas propriedades para simplificar os cálculos.

Produto de potência de mesma base

Sem utilizar essa propriedade resolveríamos uma multiplicação de potência de mesma base da seguinte forma:

22 . 23 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 = 32

Utilizando a propriedade de produtos de mesma base, resolvemos da seguinte forma: como é um produto de bases iguais, basta repetir a base e somar os expoentes.

22 . 23 = 22 + 3 = 25 = 32

51 . 53 = 51 + 3 = 54 = 625

Quocientes de potências de mesma base

Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 : 126 ficaria da seguinte forma:

128 : 126 = 429981696 : 2985984 = 144

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada, veja: como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes.

128 : 126 = 128 – 6 = 122 = 144

(-5)6 : (-5)2 = (-5)6 – 2 = (-5)4 = 625

Potência de Potência

Quando nos deparamos com a seguinte potência (32)3 resolvemos primeiro a potência que está dentro dos parênteses e depois, com o resultado obtido, elevamos ao expoente de fora, veja:

(32)3 = (3 . 3)3 = 93 = 9 . 9 . 9 = 729

Utilizando a propriedade de potência, a resolução ficará mais simplificada: basta multiplicarmos os dois expoentes, veja:

(32)3 = 32 . 3 = 36 = 729

(-91)2 = (-9)1 . 2 = (-9)2 = 81

Potência de um produto

Veja a resolução da potência de um produto sem utilizarmos a propriedade:

(3 x 4)3 = (3 x 4) x (3 x 4) x (3 x 4)

(3 x 4)3 = 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4

(3 x 4)3 = 27 x 64

(3 x 4)3 = 1728

Utilizando a propriedade, a resolução ficaria assim:

(3 x 4)3 = 33 x 43 = 27 x 64 = 1728

Propriedade das potências II

Sabemos que a matemática utiliza símbolos para simplificar a escrita de muitas sentenças. A potenciação é uma forma simplificada de se escrever a multiplicação de um número por ele mesmo repetidamente. As propriedades da potenciação são recursos utilizados pela matemática para deixar mais simples algumas operações entre potências. Vamos analisar algumas dessas propriedades e verificar como elas facilitam nossas vidas.

Propriedade 1.

Multiplicação de potências com bases iguais.

a) 72 x 73 = (7 x 7) x (7 x 7 x 7) = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 75

b) 24 x 23 x 22 = (2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) x (2 x 2) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 29

Observando os dois exemplos acima, temos que:

72 x 73 = 72+3 = 75

24 x 23 x 22 = 24+3+2 = 29

Essa propriedade nos mostra que: na multiplicação de potências de bases iguais basta conservar a base da potência e somar os expoentes. Observe novamente:

35 x 38 = 35+8 = 313

Propriedade 2.

Divisão de potências com bases iguais.

Com os exemplos acima, pode-se verificar que:

Essa propriedade nos mostra que: na divisão de potências com bases iguais basta conservar a base e diminuir os expoentes. Veja:

Propriedade 3.

Potência de potência

Essa propriedade é chamada de potência de potência por apresentar uma base com dois ou mais expoentes.

Com o exemplo acima, podemos verificar que:

Essa propriedade nos mostra que: numa potência de potência devemos repetir a base e multiplicar os expoentes. Veja:

Propriedade 4.

Potência com expoente zero.

Essa é uma propriedade muito interessante e que gera muita dúvida nas pessoas. Ela nos diz que todo número elevado a um expoente zero terá como resultado o número 1. De forma genérica seria:

Vejamos mais um exemplo:

Mas como podemos chegar a essa conclusão? Por que todo número elevado a zero é igual a 1?

Veja como é simples a explicação disso. Vamos fazer a divisão entre os números abaixo:

Mas como todo número dividido por ele mesmo resulta 1, temos que: