CALCULO NUMERICO

Considere um tanque, no instante t=0, contém Qo=50 lb de sal dissolvido em 100 gal (cerca de 455 l). Suponha que água contendo ¼ lb (cerca de 113 g) de sal por galão entrando no tanque a uma taxa de de 3 galões por minuto e que o liquido, bem misturado, está saindo do a mesma taxa. Vamos supor que o sal não é criado nem destruído no tanque. Portanto, as variações na quantidade de sal devem-se ,apenas, ao fluxo de entrada e saída no tanque.

Então temos que:

= taxa de entrada – taxa de saída

A taxa de entrada é a concentração vezes a taxa de fluxo de entrada,

(¾)

A taxa de saída é a concentração de sal do tanque vezes o fluxo de saída,

3Q(t)/100

Assim a equação diferencial que governa esse processo é

= -

Logo, o fator integrante é e3t/100 e a solução geral é

Q(t) = 25+ce-3t/100

Onde c é uma constante arbitrária. Para satisfazer a condição inicial precisamos escolher c = Qo-25. Portanto a solução do problema de valor inicial é

Q(t) = 25+25e-0.03t

Problema 2: Lançamento Vertical

Considere o movimento a uma dimensão que se obtém quando se arremessa um objeto na vertical para cima num instante inicial com uma velocidade v0. A força (aceleração) é constante (não depende da posição, velocidade ou tempo) e neste caso existe resolução analítica da 2ª Lei de Newton. A posição em função do tempo é dada por:

y(t) = y + vo t + at2

Consideraremos y0=0 e v0=25 m/s. A aceleração da gravidade é constante e igual a 9,8m/s2.

y(t) = 25t – 4,9t2

Problema 3: Lei Stefan-Boltzmann

A transferência de calor de um corpo para um ambiente que o rodeia por radiação, segundo a lei de Stefan-Boltzmann, é descrita pela equação diferencial

= -a(u4-T4) (i)

Onde u(t) é a temperatura absoluta do corpo no instante t, T é a temperatura absoluta do ambiente e a é uma constante que depende dos parâmetros físicos do corpo. No entanto, se u é muito maior que T, então as soluções da EQ.(i) podem ser bem aproximadas pelas soluções da equação mais simples

= -au4 (ii)

Supondo que um corpo com a temperatura inicial de 2000K está imerso em um meio ambiente à temperatura de 300°K e que a= 2,0*10-12K-3s-1, a solução da equação é

u(t) = 2000/(1+0,048t)1/3

Aproximação por método numérico

Problema 1: Misturas

Sendo Q(t) = f(to,Qo) e Qo= 0, to =0 pelo método de Euler temos:

Qi=