Caalculo 3

ETAPA 1

PASSO – 1:Façam as atividades apresentadas a seguir. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo

1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

O surgimento do Cálculo Diferencial Integral

O cálculo diferencial integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciênciasexatas. Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.

Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo. Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a anderivada, descrita em qualquer tempo proposto. Mas no lugar de derivadas, Newton empregou fluxos de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de anderivadas, usou o que ele chamou de fluente. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o fluxo da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas derivadas.

As idéias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma seqüência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0) + (8-1)+(27-8)+......(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento ”infinitesimal”.

Leibniz escreveu em 1680, “Eu represento a área de uma figura pela soma infinita de todos os retângulos limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas”, isto é, como ò ydx. Então, “elevando a alturas maiores”, baseando-se na analogia com somas finitas e diferenças, afirmou que ao encontrar a área representada por ò ydx, deve-se encontrar uma curva Y tal que as ordenadas ysão diferenças de Y, ou y = dY. Em tempos modernos, Y é nossa anderivada, e assim, Leibniz formulou uma afirmação inicial da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

3. Façam o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa. Para maiores informações, visitar as páginas: GeoGebra. Disponível em: . Acesso em:22 abr. 2012.• Curso de GeoGebra.

PASSO 2

Leiam os desafios propostos: Desafio A Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: (a³/3+3/a³+3/a) da?

a) ʃ (a³/3+3/a³+3/a)da

b) ʃ (a³/3 da + 3/a³ da + 3/a da)

c) 1/3.a4 + ((-3.(a^-²)/2)) + 3ln|a| + C

d) a4/12 – 3a-²/2 + 3ln|a| + C

)a4/12 – 3/2a² + 3ln|a| + C

A alternativa correta é a “ B ”.

Desafio B: Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

a) C(q) =10.000 +1.000q + 25q

b)C(q) =10.000 + 25q +1.000q

c)C(q) =10.000q

d)C(q) =10.000 + 25q

e)C(q) =10.000q + q + q

A alternativa correta é a “ A “.

Desafio C: No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1 e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

e) Nenhuma das alternativas

A alternativa correta é a “ C “.

Desafio D: A área sob a curva y = (e^(x/2) ) de x = -3 a x = 2 é dada por:

(a) 4,99

(b) 3,22

(c)6,88

(d)1,11

(e)2,22

A alternativa correta é a letra “A”

PASSO3

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