Calculo Numerico

http://www.decom.ufop.br/bcc760/material_de_apoio/livros/livro_port.pdf

http://www.ead.ftc.br/portal/upload/mat/4p/04-AlgebraLinear.pdf

http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/1CN_motivacao.pdf

Cálculo Numérico

O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada.

Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

Um dos métodos utilizados é a aplicação da Álgebra Linear.

Álgebra Linear é o estudo de grandezas aditivas ou ’lineares’, e das relações entre elas, seus objetos são vetores e matrizes.

Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas.

Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição.

Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio.

Arredondamento em Ponto Flutuante

Arredondar um número x, por outro com um número menor de dígitos significativos, consiste em encontrar um número x¯¬¬, pertencente ao sistema de numeração, tal que |x¯ − x| seja o menor possível.

Operações Aritméticas em Ponto Flutuante

Considere uma máquina qualquer e uma série de operações aritméticas. Pelo fato do arredondamento ser feito após cada operação temos, ao contrário do que é válido para números reais, que as operações aritméticas (adição, subtração, divisão e multiplicação) não são nem associativas e nem distributivas.

Erros consideráveis podem ocorrer durante e execução de um algoritmo. Isso se deve ao fato de que existem limitações da máquina e também que os erros de arredondamento são introduzidos a cada operação efetuada. Em consequência, podemos obter resultados diferentes mesmo utilizando métodos numéricos matematicamente equivalentes.

Assim, devemos ser capazes de conseguir desenvolver um algoritmo tal que os efeitos da aritmética discreta do computador permaneça inofensivo quando um grande número de operações são executadas.

Propagação do erro

A perda de algarismos significativos devido a uma soma intermediária grande é chamada de Propagação do Erro.

Se um resultado intermediário de um cálculo é contaminado por um erro de arredondamento, este erro pode influenciar todos os resultados subsequentes que dependem desse resultado intermediário. Os erros de arredondamento podem propagar-se mesmo que todos os cálculos subsequentes sejam feitos com precisão dupla. Na realidade, cada novo resultado intermediário introduz um novo erro de arredondamento. E de se esperar portanto, que todos esses erros influenciem o resultado final. Numa situação simples como o caso de uma soma, o erro final pode ser igual a soma de todos os erros intermediários.

Chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto discreto, ou seja não é possível representar em uma máquina todos os números de um dado intervalo [a, b]. A implicação imediata desse fato é que o resultado de uma simples operação aritmética ou o cálculo de uma função, realizadas com esses números, podem conter erros. A menos que medidas apropriadas sejam tomadas, essas imprecisões causadas, por exemplo, por simplificação no modelo matemático (algumas vezes necessárias para se obter um modelo matemático solúvel); erro de truncamento (troca de uma série infinita por uma finita); erro de arredondamento (devido a própria estrutura da máquina); erro nos dados (dados imprecisos obtidos de experimentos, ou arredondados na entrada); etc, podem diminuir e algumas vezes destruir, a precisão dos resultados, mesmo em precisão dupla.

Observe