Calculo Numerico

Espaço Vetorial Normado

Vamos definir agora importantes definições de norma de um vetor e de matriz. Com isso estaremos aptos a definir, quando oportuno, as noções de limite de uma sequencia de vetores ou de matrizes, de grande utilidade, entre outros, no estudo de convergencia de métodos iterativos de solução de sistemas lineares e do problema de erros de arredondamento nos Chama-se norma de um vetor x-em símbolo, ||x|| - qualquer função definida num espaço vetorial E, com valores em IR, satisfazendo as seguintes condições:

N1) ||x|| ≥0 se, e somente se, x =ѳ(vetor nulo),

N2) ||λx|| = |λ| ||x|| para todo escalar λ,

N3) ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||(desigualdade triangular).

Um espaço vetorial E onde está definida uma norma é chamado espaço vetorial normado.

Duas normas ||.||ᵅ ≤||x||ᵇ≤k₂ ||x||ᵅ, ⩝ x ⋲ E.

Seja E um espaço euclidiano de dimensão n. Os vetores f₁,f₂,...,fᴺ formam uma base ortogonal de E se eles forem vetores ortogonais dentre eles são ortogonais.

Num espaço euclidiano, um conjunto ortonormal de vetores é sempre linearmente independente.

Chama-se norma de uma matriz A –em símbolo, ||A||-qualquer função definida no espaço vetorial das matrizes nXn, com valores em IR, satisfazendo as seguintes condições:

M1) ||A|| ≥0 e ||A||=0 se e somente se A=ѳ(matriz nula),͚

M2) ||λA|| = |λ| ||A|| para todo escalar λ,

M3) ||A+B||≤||A|| + ||B||(desigualdade triangular).

Processo de Gram-Schmidt

Em diversos problemas relacionados com espaço vetorial, a escolha de uma base para o espaço vetorial fica a critério da pessoa que se propôs a resolver o problema. É claro que sempre a melhor estratégia será escolher uma base que melhor simplifique os cálculos. Em espaços euclidianos, tem-se muitas vezes o caso em que a melhor escolha da base é aquela onde todos os seus vetores são mutuamente ortogonais ou ortonormais.

Vimos anteriormente que uma sequencia ortonormal de vetores é sempre linearmente independente. Camos agora mostrar que é sempre possível construir, a partir de uma sequencia de vetores linearmente independentes {f1,f2,...,fn}, uma sequencia ortogonal{e1,e2,...,en}.

Todo espaço euclidiano n dimencional tem uma base ortogonal e uma base ortonormal.

Todo espaço euclidiano E é um espaço vetorial e, portanto, tem uma base. Seja f1, f2,..., fn uma base desse espaço euclidiano . vamos construir, a partir de f1,f2,..., fn, uma base ortogonal de E. Seja{e1,e2,...,em}, a base procurada.

Tornamose1 como sendo igual ao primeiro elemento da sequencia dada, isto é:

e1 =f1

O elemento e2 será tomado como combinação linear do segundo elemento da sequencia dada e e1, ou seja:

e2= f2+ α1e1,

onde α1[e escolhido de tal maneira que e2 seja ortogonal a e1.

Assim : (e2,e1)=0→(f2= α1e1)=0.portanto, segue que:

Α1= -(f2,e1)

(e1,e1).

Vamos supor que j[a temos constru[ido os vetores:e1,e2,...,ek-1, dois a dois ortogonais. O elemento ek ser[a tomado como combina;ao linear do k- ésimo elemento da aequencia dada e todos os ei já calculados, isto é:

ek= fk+α1-1ek-1+αk-2 ek-2+...+α1e1,

onde os αi, i+1,2,...,k-1,são determinadosde tal maneira que ek seja ortogonal a todos os ei já calculados. Assim, devemos ter: (ek, ei) =0, i=1,2,...,k-1,ou seja:

(ek,e1)=(fk+αk-1ek-1+...+α1 e1, e1)=0,

(ek,e2)=(fk+αk-1ek-1+...+α1e1,e2)=0,

.

.

.

(ek,ek-1)=(fk+αk-1+...+α1e1,ek-1)=0

Desde que os vetores e1,e2,...,ek-1 foram contruídos dois a dois ortogonais, obtemos:

(fk,e1)+α1(e1,e1)=0,

(fk,e2)+α2(e2,e2)=0,

.

.

.

(fk,ek-1)+αk-1(ek-1,ek-1)=0.

Portanto, segue que:

α1=-(fk,e1)

(e1,e1),

α2=-(fk,e2)

(e2,e2),

.

.

.

Αk-1=(fk,ek-1)

(ek-1, ek-1).

Mostraremos agora que ek ≠ѳ. De fato, temos que ek é combinacao linear dos vetores e1,e2,...,ek-1,fk. Mas ek-1 pode ser escrito como combinacao linear dos vetores e1,e2,...,ek e assim