Calculo Numerico

Etapa 1.

Passo 1.

Introdução

Pretendeu neste capítulo relembrar alguns conceitos básicos, que irão facilitar a compreensão dos métodos numéricos apresentados nos próximos capítulos. A maioria dos conceitos aqui apresentados são de álgebra linear e isso se deve ao fato de que os resultados da álgebra linear, em geral, e da teoria dos espaços vetoriais, em particular, na analise numérica e tão grande, que estudo pormenorizado desses assuntos cada vez mais se justifica. Assim maiores detalhes sobre os assuntos aqui abordados podem ser encontrados em livros de álgebra.

Para iniciar vamos examinar dois conjuntos que certamente já são conhecidos do leitor. O primeiro e o conjunto dos vetores da geometria, definidos através de segmentos orientados, e o outro e o conjunto das matrizes reais m × n.

A primeira vista pode parecer que tais conjuntos não possuem nada em comum. Mas não e bem assim conforme mostraremos a seguir.

No conjunto dos vetores está definida uma adição dotada das propriedades comutativa, associativa, além da existência do elemento neutro (vetor nulo) e do oposto.

Além disso, podemos multiplicar um vetor por um numero real propriedades (já certamente vista por você no seu curso):. Essa multiplicação tem as seguintes

v,u +  (u + v) = 

u,u + )u =  + (

u),)u = ((.

1 • u = u ,

são escalares quaisquer., Onde u, v são vetores e

No conjunto das matrizes também está definida uma adição dotada também das propriedades associativa, comutativa, admite elemento neutro, a matriz nula, e toda matriz tem uma oposta.

Como vemos o comportamento do conjunto dos vetores e o das matrizes quanto à adição e o mesmo.

Mas não param por aís as coincidências. Pode-se também multiplicar uma matriz por um número real. Essa multiplicação apresenta as mesmas propriedades que as destacadas para o caso de vetor, ou seja, valem as seguintes igualdades:

B,A +  (A + B) = 

A ,A + )A =  + (

A) ,)A = ((

1 . A = A,

PASSO 2

Ler os desafios propostos:

1. Desafio A

Nos gráficos a seguir, é apresentada uma interpretação geométrica da dependência

e independência linear de dois e três vetores no R³ :

a) b) c).

De acordo com os gráficos anteriores, afirma-se:

I – os vetores V1 e V2 apresentados no gráfico (a) são LI (linearmente independentes);

Resposta: Não, V1 e V2 estão apresentados na mesma reta que passa pela origem, portanto é LD (Linearmente Dependentes)

II – os vetores V1, V2 , e V3 apresentados no gráfico (b) são LI;

(V1 e V2).Resposta: É LI (linearmente independente), Pois V3

III – os vetores V1, V2 e V3 apresentados no gráfico (c) são LD (linearmente dependentes);

(V1, V2) o conjunto (V1,V2,V3) é LD (Linearmente dependentes).Resposta: Sim, pois quando dois vetores V1 e V2 não paralelos geram um plano pela origem. Se um terceiro vetor V3 estiver nesse plano, isto é V3

2. Desafio B

Dados os vetores u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11), podemos afirmar que u e v são linearmente independentes.

Resposta:

u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11) u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11)

 a . (4, 7, -1) + b . (3, 10, 11) = 0,0,0 =

(4a, 7a, -a) + (3b, 10b, 11b) = 0,0,0

4a + 3b = 0

7a + 10b = 0

-a + 11b = 0

1) -a + 11b = 0

-a = -11b (-1)

a = 11b

2) 4a + 3b = 0

4(11b) + 3b = 0

44b + 3b = 0

47b = 0

b =

b = 0

3) 7a + 10b = 0

7(11b) + 10b = 0

77b + 10b = 0

87b = 0

b =

b = 0

4) -a + 11b = 0

-a + 11(0) = 0

-a + 0 = 0

-a =

-a = 0

Resposta: LI (Linearmente Independente).

3. Desafio C

Sendo w (3, 3, 4) E e w ( 1, 2, 0) E, a tripla coordenada de w = 2w - 3w na base E é (9, -12, 8) E .

w1 = (3, -3, 4) E e w2 = (-1, 2, 0) E

w = 2w1 – 3w2 = (9, -12, 8) E

w = 2(3, -3, 4) – 3(-1, 2, 0)

w = (6, -6, 8) – (-3, 6, 0)

w = (6, -6, 8) + (3, - 6, 0)

w = (9, -12, 8)

Passo 3

Resolver os desafios apresentados no desafio A, desafio B e desafio C, julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.

1. Desafio A:

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa. = 1

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada. = 1

Associar o número 1, se a afirmação II estiver certa. = 1

Associar o número 0, se a afirmação II estiver errada. = 1

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa. = 1

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada. = 1

2. Desafio B:

Associar o número 0, se a afirmação estiver certa. = 0

Associaronúmero1,se a afirmação estiver errada. = 0

3. Desafio C:

Associar o número 1, se a afirmação estiver certa. = 1

Associar o número 0, se a afirmação estiver errada. = 1.

Passo 4.

Escalonamento ou o Método da Eliminação de Gauss

A teoria das equações lineares desempenha papel importante e motivador no campo da Álgebra Linear, onde muitos problemas são equivalentes ao estudo de um sistema de equações lineares.

Procurei neste artigo evitar todo o rigor matemático do método aplicado no Cálculo Numérico, sem abrir mão de um mínimo de formalismo necessário para o bom entendimento.

Os métodos diretos que aprendemos no ensino médio como por substituição só é prático para duas equações a duas incógnitas; para outros casos destaca-se a regra de Cramer. Esse método, se aplicado a um sistema de n x n envolve um cálculo de (n + 1) determinantes de ordem n. Se n = 20, por exemplo, o total de operações efetuadas será de 21 x 20! x 19 multiplicações mais um número semelhante de adições. Assim, se um computador que efetue cerca de cem milhões de multiplicações por segundo, levaria 3 x 105 anos para efetuar as operações necessárias.

Claro que na época de Gauss não existia computador. Imaginem como era para resolver sistemas com n = 4, n = 5, n = 10.

O método de eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com a matriz dos coeficientes triangular superior, pois estes são de resolução imediata.

Uma equação linear no campo dos números Reais pode ser representada como:

Onde e os xi são indeterminados, ou seja as incógnitas ou variáveis. O escalar ai é chamado coeficientes de x-i- respectivamente, e b é chamado de constante ou termo independente.

Um sistema de equações lineares é um conjunto de m equações com n incógnitas. Neste estudo, vamos nos concentrar em sistemas lineares do tipo n x n, onde o número de equações é igual ao número de incógnitas.

Considere o sistema linear Ax = b:

O método de eliminação de Gauss consiste em transformar convenientemente o sistema linear original para obter um sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior.

Para modificar convenientemente um sistema linear num equivalente, podemos fazer uso do teorema abaixo:

Teorema: Seja Ax = b um sistema linear n x n. Aplicamos sobre as equações desse sistema uma seqüência de operações elementares escolhidas entre:

i) trocar duas equações ou duas colunas;

ii) multiplicar uma equação por uma constante não-nula;

iii) adicionar um múltiplo de uma equação a outra equação.

Assim, obteremos um novo sistema A'x = b' de modo que os sistemas Ax = b e A'x = b' são equivalentes.

Considere o sistema de equações lineares dado em (1). A triangularização do sistema é dada como segue:

1) Transpomos equações de modo que o termo a11 seja não-nulo;

2) Para cada i > 1, aplicamos a operação:

Substituímos a i-ésima equação linear Li pela equação equivalente resultante da multiplicação da equação L1 por –ai1 somada ao produto da equação Li por a11.

Com isso eliminamos o termo ai1 da equação Li:

Esse processo elimina uma incógnita de equações sucessivas até, por fim, encontrarmos somente:

Que nos dá de imediato o valor de xn.

Substituindo xn na equação Ln – 1, obteremos o valor de xn – 2 e assim sucessivamente.

Exemplo 1: Considere o sistema de equações abaixo. Encontre os valores de x, ye z.

Primeiramente, vemos que o termo a11 é não-nulo e igual a 2. Vemos identificar cada equação como:

Etapa 1: Eliminando a incógnita x da segunda e terceira equações.

Primeiramente vamos eliminar a incógnita x da equação L2. Assim, devemos aplicar a operação:

Então, fazemos:

Somando termo a termo, temos:

Eliminemos agora a incógnita x da terceira equação:

Somando termo a termo, temos:

Obtemos, assim, um sistema equivalente ao original, mas com as primeiras incógnitas eliminadas:

Etapa 2 :

Caso (a): O calculo da área de uma circunferência é feito utilizando a seguinte formula:

Área circunferência = ╥ x r ^2

Podemos observar que a constante Pi numero irracional é um ou seja, é uma progressão infinita. A diferença no resultado das operações é devida á diferença de algarismos significativos utilizados no número Pi em cada operação, como pode ser demonstrado abaixo:

João;

╥ x (120)^2 = 45.216

╥ x 14.400 = 45.216

╥ = 45.216/ 14.400

╥ = 3,14

Pedro;

╥ x (120)^2 = 45.239,04

╥ x 14.400 = 45.239,04

╥ = 45.239,04/ 14.400

╥ = 3,1416

Maria;

╥ x (120)^2 = 45.238,9342176

╥ x 14.400 = 45.238,9342176

╥ = 45.238,9342176/ 14.400

╥ = 3,141592654

Caso (b):

Ferramenta de Cálculo

Calculadora 15.000 3.300

Computador 15.000 3.299,99691

Como podemos observar que a diferença nos resultados na área da circunferência é devido aos diferentes valores de arredondamento do número Pi. No exemplo João utilizou três números significativos, Pedro cinco e Maria dez números significativos. Portanto o valor encontrado nos cálculos de Maria é mais preciso devido ao número de algarismos significativos no resultado da operação.

No caso( B ) iremos considerar a somatória dos números de um a três mil, com precisão de 0,5 ou 0,11. No primeiro somatório as máquinas obtiveram o mesmo resultado, entretanto no segundo somatório tivemos valores distintos. A diferença no resultado é devido à limitação da calculadora, que não suporta a mesma quantidade de números significativos que o computador, que demonstrou ser pouco precisa em relação ao computador.

Passo 2:

1 – Os números que podemos representar no sistema F(10,5,6,6) vão de:

0,10000 x 10^-6 a 0,99999 x 10^6.

2 – O número 123456 no sistema F(10,5,6,6) utilizando arredondamento:

0.12346 x 10^6

O mesmo número utilizado o truncamento ficaria: segundo

0,12345 x 10^6

3 – O resultado da soma de X e Y no sistema F(10,5,6,6) seria:

X = 4

Y = 452700

4 + 452700 = 452704

0.45270 x 10^6

Passo 3 :

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.=1

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada. = 0 = 0,99999x106

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.=1

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada. = 0 = 0,12345x106

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.=0

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada. = 1 = 0,4 x108

Observe que o número 0,0003 não pode ser representado no sistema, pois o expoente é menor que-2 causando underflow. Já o número 5391,3 não pode ser representado no sistema, pois o expoente é maior que 2, causando overflow

Passo 4