Calculo Numerico

Método da Posição Falsa

Seja f(x) contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a)f(b) < 0.

Supor que o intervalo (a,b) contenha uma única raiz da equação f(x) = 0.

Podemos esperar conseguir a raiz aproximada ͞͞x usando as informações sobre valores de f(x) disponíveis a cada iteração.

Em vez de tomar a média aritmética entre a e b, o método da posição falsa toma a média aritmética ponderada entre a e b com pesos f(b) e f(a), respectivamente:

Visto que f(a) e f(b) têm sinais opostos.

Exemplo:

Encontre a raiz da equação f(x)= x3 – 9x +3 utilizando o método da posição falsa

usando como condições iniciais o intervalo I=[0,1] e ε = 2 x 10-3

Iteração X F(x) b-a

1 0,375 -0,3222 1

2 0,3386 -8,7901 x10-3 0,375

3 0,3376 -2,2588 x10-4 0,3386

E portanto ͞͞x = 0,3376

Método do Ponto Fixo

A importância deste método está mais nos conceitos que são introduzidos em seu estudo que em sua eficácia computacional.

Seja f(x) uma função contínua em [a,b], intervalo que contém uma raiz da equação f(x)=0.

O MPF consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente x = ϕ(x) e a partir de uma aproximação inicial x0 (chute inicial) gerar a seqüência {xk} de aproximações para ξ (raiz) pela relação xk+1 = ϕ(xk), pois a função ϕ(x) é tal que f(ξ)=0 se e somente se ϕ(ξ)=ξ. Dessa forma transformamos o problema de encontrar um zero de f(x) no problema de encontrar um

ponto fixo de ϕ(x).

f(x) = x3 -9x +3 => φ(x) = x^3/9+1/3

Iteração x f(x)

1 0,3472 -0,8313 x10-1

2 0,3379 -0,3253 x10-2

3 0,3376 -0,1239 x10-3