Calculo Numerico

CÁLCULO NUMÉRICO:

Corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

Um resultado de matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema, (ex: Solução de sistema de equações lineares (calculo de estruturas, redes elétricas etc.)). A existência de problema para os quais não existem métodos matemáticos para a solução “não podem ser resolvidos analiticamente”.

Como por exemplo:

Equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.

Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas.

Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não e um numero, e um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente a própria medição.

“Podemos dividir a Matemática em duas partes, o cálculo numérico e o cálculo algébrico. O cálculo numérico envolve as operações da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, envolvendo os números reais. Os cálculos envolvendo frações, também são abordados e explorados de forma complexa.

O calculo algébrico está diretamente ligado às expressões algébricas, envolvendo equações, inequações e sistemas de equações. Nele, todos os fundamentos fixados no cálculo numérico são utilizados”. Marcos Noé.

Método numérico é um algoritmo composto por de um numero finito de operações envolvendo apenas números ( operações aritméticas elementares, calculo de funções, consulta a uma tabela de valores, consulta a um gráficos, arbitragem de um valor, etc.).

Modelagem Resolução

Modelagem é a fase de obtenção do modelo matemático que descreve o comportamento do sistema físico.

Resolução é a fase de obtenção da solução através da aplicação de método numéricos (este e o objetivo do estudo do calculo numérico).

CONCEITO DE ERRO:

A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico. De um lado, os dados, em si, nem sempre são exatos e, de outro lado, as operações sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados. Finalmente, os próprios métodos numéricos, frequentemente métodos aproximados, buscam a minimização dos erros, procurando resultados o mais próximo possível do que seriam valores exatos. Erro é a diferença entre o valor exato e o valor apresentado.

Ao se tentar representar um fenômeno do mundo físico por meio de um método matemático, raramente se tem uma descrição correta deste fenômeno. Normalmente, são necessárias várias simplificações do mundo físico para que se tenha um modelo.

Exemplo: Estudo do movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante.

Tem-se a seguinte equação: d = do + vo * t + 1/2 * a * t²

onde:

d : distância percorrida

do : distância inicial

vo : velocidade inicial

t : tempo

a : aceleração

Determinar a altura de um edifício com uma bolinha de metal e um cronômetro: 3s

d = 0 + 0 * 3 + 1/2 * 9.8 * 32 = 44.1m

Este resultado é confiável?

1. Fatores não considerados:

• resistência do ar

• velocidade do vento, etc.

2. Precisão dos dados de entrada:

• Se o tempo fosse 3,5s d = 60.025m

• Variação de 16,7% no cronômetro 36% na altura.

Para a resolução de modelos matemáticos muitas vezes torna-se necessária a utilização de instrumentos de cálculo que necessitam, para o seu funcionamento, que sejam feitas certas aproximações.Tais aproximações podem gerar erros, tais como: conversão de bases, erros de arredondamento e erros de truncamento.

ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS:

Erro absoluto (EA) é a diferença entre o valor exato de um número N e o seu valor aproximado N’:

N = N’ + EAN N > N’ EAN > 0

N < N’ EAN < 0

EAN = N − N’ Erro absoluto

Por exemplo, sabendo-se que π = (3.14, 3.15) tomaremos para π um valor dentro deste intervalo e teremos, então, |EAπ| = |π - π‘| <