Calculo Numerico

ETAPA 2

Sistemas de Numeração e Erros

Nesta etapa estaremos abordando, de forma prática, o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, isto é, não é possível representar em uma máquina todos os números de um dado intervalo [a, b].

Para realizá-la iremos observar os dois casos apresentados abaixo:

(a) Caso A

Uma professora de matemática da 1ª série do ensino médio pediu a três alunos da classe que calculassem a área de uma circunferência de raio igual a 120 metros. Os seguintes valores foram obtidos, respectivamente, pelos alunos João, Pedro e Maria: 45.216 m²; 45.239,04 m² e 45.238,9342176 m² .

(b) Caso B

3000 3000

Marcelo obteve a seguinte tabela após o cálculo dos somatórios: Σ 0,5 e Σ 0,11

1 1

3000 3000

Ferramenta de Cálculo Σ 0,5 Σ 0,11

1 1

Calculadora 15.000 3.300

Computador 15.000 3.299,99691

Considerar os casos A e B apresentados anteriormente e respondam:

• Por que foram encontrados três valores diferentes para o caso (A), considerando que não houve erro algum por parte dos alunos na utilização da fórmula da área de uma circunferência e nem na substituição do valor do raio, na mesma?

Resposta:

Para calcularmos a área de uma circunferência de raio utilizamos π que corresponde a 3,14. Como é um número irracional não teremos um valor exato para o cálculo da área, mas sim valores aproximados. No primeiro cálculo (João) foi utilizado 3,14 (três algarismos significativos para , com duas casas decimais) e no segundo cálculo (Pedro), utilizou para 3,1416 ( cinco algarismos significativos com quatro casas decimais e arredondamento) e no terceiro (Maria) utilizou para 3,1415926535897932384 (vinte algarismos significativos). Nenhum dos resultados está incorreto, porém o terceiro está mais preciso que o segundo, por sua vez está mais preciso que o primeiro, assim quanto maior o número de dígitos utilizados nos cálculos, maior a precisão do número, ou seja, mais próximo estamos da representação real do número.

• Quando comparados, vemos uma diferença nos valores obtidos nos cálculos dos somatórios utilizando cada uma das ferramentas. A que se deve essa diferença apresentada no caso B?

Resposta:

As diferenças entre resultados para uma mesma operação são em consequência da precisão dos dados de entrada da operação, ou ainda da forma como estes números são representados nos computadores ou calculadoras, pois devemos levar também em consideração que estes trabalham com o sistema de representação binário. Assim, ao inserirmos um número no computador, normalmente o representamos na base decimal, este o converte para binário, realiza operações matemáticas nessa base e converte o resultado novamente para a base decimal para que possamos observá-lo.

Desafio Proposto:

Agora iremos observar o desafio proposto desta etapa:

Numa máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tem base 10; 5 dígitos na

mantissa e expoente no intervalo [− 6, 6], pode se afirmar que:

I – o menor e o maior número em módulo nesta representação são dados de forma respectiva por: 0,1x 10-6 e 0,99999×106 ;

II – usando o arredondamento, o número 123456 será representado por 0,12346×106 e se for usado o truncamento, o mesmo número será representado por 0,12345×106;

III – se x = 4 e y = 452700, o resultado de x + y será 0,4×108.

Para resolver o desafio proposto deve-se:

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.

Após alisarmos chegamos a seguinte sequência: 0 0 0; onde os resultados serão esclarecidos no relatório a seguir.

Relatório Etapa 2 – Sistemas de Numeração e Erros

Primeiramente, as diferenças encontradas nos casos A e B do passo 1 deste trabalho se devem ao fato que o resultado encontrado é limitado em função dos números de dígitos que a maquina dispõe para trabalhar e também na conversão, pois podemos ter alguns desvios do resultado real, já que um número possui uma representação finita decimal e pode não ter representação finita no sistema binário ou vice-versa.

Nesse caso, a máquina fará aproximações do número, o que implica avaliarmos a precisão do resultado.

Já em relação ao desafio chegamos aos seguintes resultados:

Tal número terá a forma:

I) Afirmativa Correta, pois:

O menor será

O maior será

II) Afirmativa Correta, pois:

O número 123456 será representado por arredondamento assim:

0,12346. 106

O número 123456 será representado por truncamento assim:

0,12345. 106

III) Afirmativa Errada, pois:

O número será representado

O número será representado

A soma será:

Como a mantissa só pode ter 5 dígitos então o número ou dará erro ou será considerado como .

Logo o resultado será:

Portanto a sequencia encontrada para esta etapa é a seguinte: 0 0 0.