Calculo Numerico

FACULDADE ANHANGUERA DE CUIABÁ

Disciplina de Cálculo Numérico

Professor Geonir Paulo Schnorr

www.geonir.webnode.com.br

ESPAÇOS VETORIAIS: INDEPENDÊNCIA LINEAR, BASE E DIMENSÃO

Exemplos resolvidos

1) Mostre que (1,-1), (1,2) e (2,1) são linearmente dependentes.

2) Dados
= ² e 1 = (1,−1) e 2 = (1,2).

1 e 2 são linearmente independentes?

3) Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em ².

a) 1 = (2,1)2 = (3,2)

b) 1 =(−2,1),2 =(1,3)e3 =(2,4)

4) Indique se os vetores dados no exercício anterior formam ou não uma base para ².

5) Dados 1 = (2,1) e 2 = (4,3). Mostre que 1 e 2 formam uma base para ² e

diga qual é a dimensão desta base.

RESPOSTAS:

1)  = (1,−1); = (1,2); = (2,1)

Os vetores ,,  são linearmente dependentes se, e somente se, existe um

conjunto de números complexos ,…, com  ≠ 0 para pelo menos um valor de

i, tal que  + +  = 0 , ou seja:

(1,−1) +(1,2) +(2,1) = 0

Podemos verificar que se  =  = 1 e  = −1, então:

1(1,−1) + 1(1,2)− 1(2, 1) =

(1,−1) +(1,2) + (−2,−1) = 0

Logo, os vetores ,  e são  !"! #.

2) São linearmente independentes, pois:

 +  = 0 =>(1,−1)+(1,2) = (0,0)

% 1 + 2 = 0

−1 + 22 = 0&



Reduzindo a matriz na forma escada, veremos que o posto da matriz dos coeficientes é

igual ao posto da aumentada, portanto 1 = 0 e 2 = 0, portanto, os vetores são

linearmente independentes.

3)

a) São linearmente independentes.

11 + 22 = 0

1(2,1) + 2(3,2) = 0

%2 1 + 3 2 = 0

1 + 2 2 = 0

&

Se o determinante da matriz dos coeficientes for igual à zero, a matriz é singular e se

for diferente de zero, é inversível.

Então podemos também resolver o problema de independência linear achando o

determinante da matriz.