Conta De Luz

ROY WILHELM PROBST

NÚMEROS PRIMOS

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado para avaliação na disciplina

de Estágio Supervisionado do Curso de

Bacharelado em Matemática do Centro

de Ciências Exatas e Naturais da

Universidade Regional de Blumenau.

Professor Orientador: Cláudio Loesch

Professor Coordenador: Nelson Hein

BLUMENAU

2003

ii

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SUMÁRIO

SUMÁRIO...........................................................................................................................ii

RESUMO ............................................................................................................................. iv

INTRODUÇÃO.................................................................................................................1

Origem do Trabalho ..........................................................................................................1

Objetivo do Trabalho ........................................................................................................1

Importância do Trabalho ..................................................................................................2

Estrutura do Trabalho .......................................................................................................2

Limitações do Trabalho....................................................................................................3

1. RETROSPECTIVA HISTÓRICA DOS NÚMEROS PRIMOS..........4

1.1. Euclides e Eratóstenes ..............................................................................................5

1.2 Fermat e Mersenne .....................................................................................................6

1.3 Euler e Gauss ...............................................................................................................7

1.4 Avanços Recentes e Questões Não Resolvidas...................................................9

2. RESULTADOS IMPORTANTES....................................................................12

2.1 Definições preliminares...........................................................................................12

2.2 Algoritmo Euclidiano...............................................................................................13

2.3 Teorema Fundamental da Aritmética...................................................................16

2.4 Crivo de Eratóstenes ................................................................................................18

2.5 Fórmulas Polinomiais ..............................................................................................22

2.6 Números de Mersenne .............................................................................................23

iii

iii

2.7 Números de Fermat ..................................................................................................25

2.8 A Função j de Euler ................................................................................................30

2.9 Testes de Primalidade..............................................................................................31

2.10 Distribuição dos Números Primos......................................................................35

3. CRIPTOGRAFIA DE CHAVE PÚBLICA E CURIOSIDADES.....41

3.1 Criptografia de Chave Pública...............................................................................41

3.2 Curiosidades...............................................................................................................45

CONCLUSÃO..................................................................................................................48

BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................49

iv

iv

RESUMO

O propósito deste trabalho é apresentar uma categoria especial de números: os

números primos. Será apresentada uma retrospectiva histórica, citando os resultados mais

importantes e/ou interessantes obtidos ao longo dos anos. Em seguida, a maioria destes

resultados será formalmente enunciada com proposições e suas respectivas demonstrações.

Finalmente será apresentada uma das mais importantes aplicações envolvendo números

primos, a criptografia de chave pública, além de algumas curiosidades envolvendo números

primos.

1

INTRODUÇÃO

Origem do Trabalho

Os números primos são uma das mais fascinantes partes da matemática. Eles vêm

intrigando os matemáticos desde a época dos antigos filósofos gregos, a mais de dois milênios

atrás. A área da Matemática que estuda os números inteiros e suas propriedades é chamada

Teoria dos Números. Atualmente,