Cálculo

Exemplo 2:

Escolhendo valores pequenos de h, estime a taxa de variação instantânea do raio r de uma esfera em relação à variação em volume em V=1.

Solução:

A fórmula r=f (V) foi dada no exemplo 1. Com h=0,01 e h= -0,01, temos os quocientes de diferenças.

(f ( 1,01 )-f ( 1 ) )/0,01 ≈ 0,2061 e f= (f ( 0,99 )-f ( 1 ) )/(- 0,01) ≈ 0,2075.

Com h= 0,001 e h= -0,001, f= (f ( 1,001)-f ( 1 ) )/0,001≈ 0,2067 f= (f ( 0,999 )-f ( 1 ) )/(- 0,001) ≈ 0,2069.

Os valores desses quocientes de diferenças sugere que o limite está entre 0,2061 e 0,2075. Concluímos que o valor deve ser em torno de 0,207; escolhendo valores menores de h confirma nossa hipótese. Logo,

f(_^') (1) = Taxa de variação instantânea do raio em relação ao volume em V = 1 ≈ 0,207.

Nesse exemplo, encontramos uma aproximação para a taxa de variação instantânea, ou derivada, usando valores cada vez menores de h. Vamos ver, agora, como visualizar a derivada.

Passo 2

Demonstre a regra da derivada da função constante e a regra da função potência, algebricamente:

Como é excessivamente longo o processo de obtenção da função derivada de uma função por meio da definição, deduz-se fórmulas que, construídas seguindo-se os passos já expostos, encontra-se rapidamente a derivada da função procurada. A expressão DERIVADA é costumeiramente empregada no lugar de Função derivada ou de Derivada de uma função.

Doravante faremos uso dessas fórmulas ou regras:

A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE É NULA.

Se k é uma constante e f(x) = k, para todo x real, então f’(x) = 0, ou seja:



Exemplos:

a) b)

Derivada do produto de função por uma constante A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função:

g(x) = K. f(x) →g(x) = K . f (x)

- Regra da derivada da função potência, algebricamente:

Derivada da função potência A derivada de uma função potência de x, de expoente genérico “n", é verificada pela definição de derivadas e pelo binômio de Newton:

f(x) = xn→ f’(x) = n . xn-1 “

Passo 3

Leia o capítulo 2 – seção 2.5 do PLT e por meio de exemplos, faça a interpretação prática da derivada.

Interpretação Pratica da Derivada:

Exemplos:

Interpretação Geométrica O valor numérico da derivada de uma função y = f(x) no ponto de coordenadas (x0 ; y0) é o coeficiente angular da reta tangente à curva obtida pela função dada neste ponto, ou seja, y - y0 = m . (x - x0) ou y - y0 = f’(x0). (x - x0) Verificação:

Portanto a equação da reta tangente no ponto de abscissa x0 é: y - y0 = m . (x - x0) ou y - y0 = tg . (x - x0) ou y - y0 = f’(x0) . (x - x0) Derivada de uma Função Uma função f diz-se derivável em um certo intervalo aberto, se for derivável em todos os pontos desse intervalo.

A função derivada de f, representada por f’, é obtida pelo limite. Aplicação Encontrar a equação da reta tangente à curva y = x2 - 2x + 1, no ponto de abscissa igual a –2. Solução: f(-2) = (–2).(–2) – 2(–2) +1 = 4 + 4 + 1 = 9 y’= 2x – 2 f’(–2) = (–2) – 2 = –4 y – f(–2) = f’(–2).(x + 2) y – 9 = –4(x + 2) r: y = –4x + 1 Regras de Derivação Por meio da definição, dada anteriormente, da derivada de uma função, provam-se as seguintes regras de derivação. 1. Derivada de uma constante Sendo K um número real qualquer, tem-se: f(x) = K→ f’(x) = 0 2. Derivada da função identidade A derivada da função identidade é igual à unidade. f(x) = x →f’(x) = 1