Desenho Tecnico

1) Determine o(s) valor(es) de x, xIR, de modo que o número complexo z = 10 + (x  4i) (1 + xi) seja um número real não nulo. (Valor: 1,0 ponto)

Solução.

Para que o número complexo ”z” seja real não nulo é necessário que a parte imaginária seja nula. Desenvolvendo a multiplicação, temos:

z = 10 + x + x2i – 4i – 4xi2 = 10 + x + x2i – 4i + 4x

z = 10 + 5x + (x2– 4)i. A solução será dada pelas raízes de x2 – 4 = 0, implicando nos valores de x = 2 ou x = - 2.

Para x = - 2, temos: z = 10 + 5(-2) + [(-2)2 – 4]i = 10 – 10 + 4 – 4 = 0. (não satisfaz)

Para x = 2, temos: z = 10 + 5(2) + [(2)2 – 4]i = 10 + 10 + 4 – 4 = 20. (satisfaz)

Resposta: x = 2

2) Sabendo que w = , determine . (Valor: 1,0 ponto)

Solução.

Desenvolvendo o a base da potência, temos:

Calculando w = basta encontrar w = (-i)1762. O resultado de 1762 ÷ 4 = 440 resto 2 indica que w = (-i)1762 = ((-i)4)440.(-i)2.

Observe que:

(-i)1 = -i

(-i)2 = (-i). (-i)= i2 = -1

(-i)3 = (-i)2. (-i)= (i2).(-i) = (-1)(-i) = i

(-i)4 = (-i)3. (-i)= (i).(-i) = -i2 = -(-1) = 1

Logo,

3) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, qual é a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9? (Valor: 0,5 ponto)

Solução. Observe o espaço amostral do lançamento de dois dados.

1 2 3 4 5 6

1 ok

2 ok

3 ok ok

4 ok ok

5 ok ok

6 ok ok

i) Espaço amostral: 6 x 6 = 36 possibilidades

ii) Faces com soma 7 ou 9: {(1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (3,4); (4,3); (3,6); (6,3); (4,5); (5,4)} = 10 possibilidades.

Resposta:

4) Um novo exame para detectar certa doença foi testado em trezentas pessoas, sendo duzentas sadias e cem portadoras da tal doença.

Após o teste verificou-se que, dos laudos referentes a pessoas sadias, cento e setenta resultaram negativos e, dos laudos referentes a pessoas portadoras da doença, noventa resultaram positivos. (Valor: 1,0 ponto)

a) Sorteando