Diferencialidade

No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função1 . Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.

Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por

f'(a) ou por \frac{df}{dx}(a).

Click para uma maior imagem. Em cada ponto, a derivada de \scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2 é a tangente do ângulo que a reta tangente à curva faz em relaçao ao eixo das abscissas. A reta é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é positiva quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta.

Índice [esconder]

1 Definição formal

1.1 Funções com valores em R

2 Diferenciabilidade

2.1 Derivabilidade num ponto

2.2 Derivabilidade em todo o domínio

2.3 Funções continuamente deriváveis

2.4 Derivadas de ordem superior

3 Exemplos

4 Pontos críticos, estacionários ou singulares

5 Derivadas notáveis

6 Funções de uma variável complexa

7 Física

8 Derivadas parciais

9 Derivadas fracionárias

10 Referências

11 Ligações externas

12 Ver também

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto \mathbb{R} dos números reais e seja f uma função de I em \mathbb{R} (função esta que é formalmente denotada por f:I\rightarrow \mathbb{R}) . Se o ponto a\in I (lê-se: o ponto a pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que f é derivável em a se existir o limite 2 e o mesmo for finito

f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}h, onde h=x-a\leftrightarrow x=a+h.

Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no ponto a e representa-se por f′(a). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosse um ponto não isolado de I.

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.

Inclinação da secante ao gráfico de f

Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)

O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:

\frac{f(x+h)-f(x)}h.

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a tal que

(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi_a(x).(x-a).

Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).

Funções com valores em R^n[editar | editar código-fonte]

Se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma função de I em \mathbb{R}^n, para algum número natural n, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função

\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&x&\mapsto&(\cos(x),\operatorname{sen}(x))\end{array} (ou seja: uma função que a cada x do domínio em \mathbb{R} responde com uma coordenada no contradomínio em \mathbb{R}^n. Esta coordenada é (cosx,senx)).

é derivável e

(\forall x\in\mathbb{R}):f'(x)=(-\operatorname{sen}(x),\cos(x)).

De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Diferenciabilidade[editar | editar código-fonte]

Derivabilidade num ponto[editar | editar código-fonte]

Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja f uma função de I em R derivável em a. Então f é contínua em a. O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.

Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e sejam f e g funções de I em R deriváveis em a. Então as funções f ± g, f.g e (caso g(a) ≠ 0) f/g também são deriváveis em a e:

(f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)

(f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)

(f/g)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}

Em particular, se c ∈ R, então (c.f)'=c.f'. Resulta daqui e de se ter (f+g)'=f'+g' que a derivação é uma aplicação linear.

Sejam I e J intervalos de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I, seja f uma função de I em J derivável em a e seja seja g uma função de J em R derivável em f(a). Então g o f é derivável em a e

(g\circ f)'(a)=g'(f(a)).f'(a).

Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.

Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja f uma função contínua de I em R derivável em a com derivada não nula. Então a função inversa f^{-1} é derivável em f(a) e

(f^{-1})'(f(a))=\frac1{f'(a)}\cdot