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INTRODUÇÃO

Neste trabalho iremos falar sobre limites, derivadas de uma função, regra de derivação, derivada de uma função logarítmica, regra da cadeia, funções trigonométricas, onde são utilizadas em inúmeras ocasiões que iremos relatar ao longo deste trabalho.

Nas funções derivadas podemos medir a declividade de uma reta tangente em cada ponto da função.

CONCEITOS DE LIMITES

Devido a limitações de conceito clássico de reta tangente a uma curva encontrando-se em apenas um único ponto, Fermat tornou-se um importante reformulador no conceito de encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto. Este fato ficou conhecido como “Problema da Tangente”.

Na época Laplace considerou Fermat “o verdadeiro inventor do cálculo diferencial”.

No século XVII Leibniz algebriza o l infinitesimal, introduzindo o conceito de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar a menor possível das diferenças em x e em y. A partir disso nasce o “cálculo diferencial”.

A teoria dos limites é conhecida como Matemática Superior. A seguir veremos a introdução à teoria dos limites, com bases nas propriedades pertinentes.

Augustin Louis Cauchy foi, entre outros um grande estudioso da Teoria dos limites. Antes dele Isaac Newton e Gottfried Wilhem Leibniz, alemão já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.

DEFINIÇÃO

Dada a função y = f(x), defina no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor, se para cada número positivo ε, por menos que seja, existe em correspondência um número positivo δ, tal que |x – x_0| < δ, se tenha | f(x) – L | < ε, para todo x ≠ x_0.

L é o Limite da função f(x) quando x tende a x_0, através da simbologia Lim f(x) = Lx → x_0.

Exemplo:

Prove, usando a definição de Limite vista acima, que: Lim (x + 5) = 8 x → 3.

Temos: f(x) = x + 5 x_0 = 3L = 8.

Devemos provar que dado um ε > 0 arbitrário, devemos encontrar um δ > 0, tal que, para | x – 3 | < δ, se tenha | x + 5 | < δ. Ora, | (x + 5) – 8 | < δ é equivalente a x – 3 | < ε. Portanto, a desigualdade | x – 3 | < δ, é verificada, neste caso.

Se δ = δ concluímos então que 8 é o Limite da função para x tendendo a 3( x δ 3).

O cálculo limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade. Assim que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na sequencia as utilizaremos para o cálculo de limites de funções. Antes porem vale as seguintes observações:

① É conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x → x_0, não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x_0, pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queríamos do ponto x_0, porém não coincide do ponto x_0. Para exemplificar, consideramos o cálculo de limite da função abaixo, para x 3.

f(x) = (x²-9)/(x-3), observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x² - 9 = (x + 3) (x – 3), substituindo e simplificando, a função fica f(x) = x + 3, cujo limite para x δ 3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3.

② O Limite de uma função y = f(x), quando x → x_0, pode inclusive, não existir mesmo a função não estando definida neste ponto x_0, ou seja, existindo f(x_0).

③ Ocorrerão casos no quais a função f(x) não esta definida no ponto x_0, porem existirá o limite de f(x) quando x → x_0.

④ Nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x_0, e existir o limite da função f(x) para x → x_0 e este limite coincidir com o valor da função f(x) no ponto x_0, dizemos que a função f(x) é continua no ponto x_0.

⑤ Já vimos que a definição de um limite de uma função f(x) quando X tende a x_0, ou seja, x → x_0. Se X tende para x_0, para os valores imediatamente inferiores a x_0, dizemos que temos um limite á esquerda da função. Se x tende para x_0, para valores imediatamente superiores a x_0, dizemos que temos um limite à direita da função.

Demonstramos que se os limites à direita e à esquerda for igual, então este será o limite da função quando x→ x_0.

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LIMITES

PROPRIEDADE 01

O limite de uma soma de funções é igual à soma de limites de cada função.

Lim (a + b + c + d +...) = Lim a + Lim b + Lim c + Lim d +...

PROPRIEDADE 02

O limite de um produto é igual ao produto dos limites.

Lim (a.b) = Lim a . Lim b

PROPRIEDADE 03

O limite de um quociente de função é igual ao quociente dos limites.

Lim (a / b) = Lim a / Lim b, se Lim b ≠ 0.

PROPRIEDADE 04

Sendo k uma constante e f uma função, Lim k.f = k. Lim f

Observações:

Em cálculos de limite, temos que considerar as igualdades simbólicas, a seguir envolvendo os símbolos de mais infinito (+∞) e menos infinito (- ∞), que representam quantidades de modulo infinitamente grande. É conveniente salientar que, o infinito grande não é um número e sim uma tendência de variável, ou seja, a variável aumenta ou diminui, sem limite.

Os símbolos + ∞ e - ∞ não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.

Dado b Є R – conjunto dos números reais tem as seguintes igualdades simbólicas:

b + (+ ∞) = + ∞

b + (- ∞) = - ∞

(+ ∞) + (+ ∞) = + ∞

(-