Equaçoes Diferenciais Passo 1 E 2

ANHANGUERA EDUCACIONAL

Faculdade Anhanguera de Campinas

Curso Engenharia de Controle e Automação e Engenharia de Produção

Engenharia de Controle e Automação

Gideão Estevão Pereira da Silva RA 7251614104

Michel Amaral de Oliveira RA 7251604997

Engenharia de Produção

Caio Verissimo Silva RA 7690722937

Charles Douglas de Assis RA 7082563305

Diego Alexandre RA 7416633232

Felipe Ocon RA 7677749596

ATPS – Equações Diferenciais

Professor: Pires

Campinas

2014

SUMÁRIO

1. Desafio.................................................................................................................................................4

1.1. Objetivo do desafio 4

2. Etapa 1 5

2.1. Passo 1 5

2.1.1 Pesquisa 5

2.2. Passo 2 5

2.2.1 Equações diferenciais 5

2.2.2 Integral Indefinida 6

2.2.3 Integral Definida 6

2.2.4 Integral Imprópria 7

2.3. Passo 3 7

2.3.1 Resolução de Equações Diferenciais 7

2.3.2 Forma geral das Equações Diferenciais e das soluções gerais 8

2.3.3 Teorema da existência e unicidade da solução forma diferencial ou formacanônica de uma equação diferencial 8

2.4 Passo 4 9

2.4.1 Modelagem de circuitos elétricos 9

2.4.2 Circuitos Elétricos 9

2.4.3 Circuitos RLC 10

3. Etapa 2 13

3.1. Passo 1 13

3.1.1 Circuitos RC 13

3.2. Passo 2 14

3.3. Passo 3 14

3.4. Passo 4 15

3.4.1 Resolução dos passos 2, 3 e 4 15

Introdução

Será abortado nessa ATPS o conceito de equações diferenciais e suas aplicações bem como situações exemplo na área eletrônica. Será mostrada a eficácia e precisão que se consegue ao aplica-las nas situações diversas.

1. Desafio

O estudo sistemático de circuitos eletroeletrônicos atualmente é motivado para o

desenvolvimento de novos dispositivos, como tablets, que trazem como uma das propostas

permitir que o usuário tenha boa parte dos recursos de um computador em um aparelho

portátil e mais leve que um notebook. O estudo de circuitos elétricos permite, também, o

avanço de dispositivos já existentes, a citar o exemplo de telefones celulares, cuja atual

funcionalidade vai bem mais além da comunicação entre dois usuários por uma ligação

telefônica.

O desenvolvimento de outros setores também está diretamente relacionado com o

avanço de dispositivos, mediante o estudo de circuitos elétricos e eletrônicos, a exemplo dos

setores de transmissão de energia, telecomunicações e saúde (este último beneficiando-se de

equipamentos cada vez mais sofisticados e que permitem análises mais detalhadas).

O conteúdo aqui exposto evidencia a importância de se ter uma base sólida nas

técnicas de modelagem e tratamento matemático de circuitos elétricos, que se dá por meio de

equações diferenciais, nas quais é frequente o uso de séries no tratamento matemático.

A relevância deste desafio reside em permitir ao aluno um sólido conhecimento sobre

a modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais, e sobre os métodos de

solução dessas equações, possibilitando, inclusive, a análise de projetos de desenvolvimento

de dispositivos.

1.1 Objetivo do desafio

Promover o estudo de circuitos elétricos de algum dispositivo por meio de equaçõesdiferenciais e a produção de um relatório a respeito.

2. Etapa 1

Aulas-tema: Equações Diferenciais. Aplicações e Modelagem.

Esta atividade é importante para você compreender a caracterização de uma equação diferencial e a sua aplicação em problemas de engenharia.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

2.1 Passo 1 (equipe)

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em

sistemas físicos e problemas de engenharia.

Sites sugeridos para pesquisa

• Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicações. Disponível em: <

https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3TXE2c2xhNXJvVk0/edit?usp=sh

aring >. Acesso em: 29 maio 2013.

• Aplicação das Equações Diferenciais. Disponível em: <

https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3Y3RWTGdERUwyYVE/edit?usp

=sharing >. Acesso em: 29 maio 2013.

2.1.1 Pesquisa

Sites Pesquisados:

Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicações – Vide Bibliografia ao final da ATPS

Aplicações das Equações Diferenciais – Vide Bibliografia ao final da ATPS

2.2 Passo 2 (equipe)

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de

funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado

ao final da ATPS).

2.2.1 Equações diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação que envolve derivadas e/ou diferenciais, uma vez que é possível transformar uma derivada em uma equação diferencial. O Cálculo Integral [1a - 4a], cujo primeiro objetivo é obter uma função na forma macroscópica, a partir da sua representação diferencial fecha, num certo sentido, a análise deste assunto:

A integral é um operador aplicado sobre uma diferencial, com o objetivo de recuperar a função que foi diferenciada ou derivada; a operação matemática que esse operador executa chama-se integração. O objetivo de uma integração é obter um número ou uma relação explícita entre variáveis.

As integrais podem ser classificadas em três tipos:

a) integrais indefinidas;

b) integrais definidas;

c) integrais impróprias.

As propriedades e características desses tipos de integração surgem dos processos de obtenção das regras de integração.

2.2.2 Integral Indefinida

Com o objetivo de mostrar as regras para integração, vamos começar dos seus resultados mais simples, envolvendo funções polinomiais. Assim, já sabemos que a derivada de uma constante é igual a zero, isto é, dada a função

y = a ---------- = 0

a partir da qual se obtém a primeira regra de integração: o operador integral anula a ação do operador diferencial, isto é, eles são opostos. Deve-se observar no entanto que existe uma ordem para que os dois operadores se anulem: o operador integral deve atuar, pela esquerda, sobre o operador diferencial. Esta é uma diferença marcante em relação aos operadores algébricos (soma e subtração, multiplicação e divisão) que não dependem da ordem dada. A integral do produto de uma constante pela variável de integração é igual ao produto da constante pela integral da variável de integração; em outras palavras, a constante pode ser retirada para fora da integral. É interessante observar que matematicamente essa regra contém a primeira; contudo, o objetivo da primeira regra é mostrar a forma de anular a ação dos dois operadores. Considerando que o processo de derivação (ou de diferenciação) provoca a perda de informação da função, estabelecemos uma terceira regra, que consiste em introduzir uma constante na operação de integração, a fim de reproduzir a função original, isto é:

+ C1 (1)

onde C1 é denominada de constante de integração. Rigorosamente, a constante de integração deve ser introduzida em cada termo que está sendo integrado.

A obtenção do valor correto da constante C1 é um dos problemas clássicos do Cálculo, sendo denominado "problema do valor de contorno". É através do seu valor ou da expressão que essa constante representa, que se identifica a equação obtida através do cálculo com o fenômeno estudado. Com procedimento análogo, as outras regras de integração podem ser obtidas. Considerando agora um caso mais genérico, seja y = f(x) um função qualquer e f'(x) sua derivada:

y = f(x) e = f'(x)

a partir da qual se pode escrever:dy = f'(x).dx

Integrando essa última expressão, vem:

+ C1

ou

y = + C1 (2)

2.2.3 Integral Definida

Uma pergunta que pode ser feita é a seguinte: é possível proceder à integração sem o aparecimento da constante C1?. A eliminação da constante de integração pode ser obtida através de um tipo de integral chamado de integral definida, que é uma integral cujo processo de integração deve ser realizado entre dois valores da variável de integração.

Há uma diferença importante entre a integral definida e a integral indefinida: a integral definida é representada por um número, enquanto que a integral indefinida por uma função (ou uma família de funções).

A partir da integral definida é possível obter uma função, desde que um dos limites de integração seja considerado uma variável.

2.2.4 Integral Imprópria

Quando a partir de uma integral definida se faz o limite superior tender a infinito ou o inferior tender a menos infinito,ou onde f(x) deve ser uma função contínua nesse novo intervalo, obtém-se um novo tipo de integral denominado de integral imprópria. Se o resultado da integração produzir um valor finito, diz-se que a integral converge; em caso contrário, que diverge.

As integrais impróprias são muito comuns em várias áreas das Ciências Exatas, como na Teoria Cinética dos Gases, no estudo de forças entre partículas quando a distância tende a infinito, quando uma variável espacial procura cobrir todo seu campo de definição, etc. São várias as técnicas para resolver as integrais. Uma das técnicas que tem larga aplicação é a da integração por partes, que se baseia no conceito de diferencial.

2.3 Passo 3 (equipe)

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de

primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final

da ATPS).

2.3.1 Resolução de Equações Diferenciais

Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece sob a forma da

sua derivada. Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária.Havendo duas ou mais variáveis independentes as derivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial.

ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: é a ordem da mais alta derivada que nela aparece.

GRAU DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: considerando as derivadas como uma polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece.

SOLUÇÃO OU INTEGRAL GERAL: é toda a função que verifica, identicamente, a equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes arbitrárias. Se a equação é de primeira ordem, aparece uma constante, se é de segunda ordem, duas constantes, etc..

Geometricamente, a solução geral ou o integral geral representa uma família de curvas

(denominadas curvas integrais).

SOLUÇÃO PARTICULAR OU INTEGRAL PARTICULAR: é toda a solução da equação diferencial que se obtém da solução geral, por particularização da(s) constante(s) e, geometricamente, representa uma das curvas da família de curvas integrais, correspondentes à solução ou integral geral.

Para a particularização das constantes, podem ser fornecidas condições que podem ser referidas a uma mesmo valor da variável independente, condições iniciais.

Resolver ou integrar uma equação diferencial consiste em determinar a solução geral

ou integral geral ou sendo dadas condições, determinar a solução ou integral particular

que as satisfazem.

2.3.2 Forma geral das Equações Diferenciais e das soluções gerais

Inversamente, sendo dada uma família de curvas, é sempre possível determinar a equação diferencial que lhe está associada, isto é, a equação diferencial que admite essa família de curvas como solução geral. Para isso, deverá Ter-se em conta o número de constantes arbitrárias que aparecem na família de curvas, o que nos indicará a ordem da equação diferencial que se pretende obter, procedendo-se do seguinte modo:

- derivar a função que representa a família de curvas dada, até à ordem que coincida

com a ordem da equação diferencial procurada;

- eliminar as constantes arbitrárias entre a equação da família de curvas dada e as

equações obtidas por derivação.

exemplo: Determinar a equação diferencial associada à família de curvas

y2 cx 2y .

A equação procurada é de primeira ordem, derivando em ordem a x, tem-se:

2 yy 'c 2y ' ou c 2 y '(y 1)

Eliminando a constante arbitrária vem:

y2 2xy '(y 1)2y .

2.3.3 Teorema da existência e unicidade da solução forma diferencial ou formacanônica de uma equação diferencial

Uma equação diferencial de primeira ordem, na forma normal, tem a estrutura

y ' f ( x, y ). Como f ( x, y ) pode sempre ser considerada um quociente da forma

f ( x, y )= M( x, y ) a equação diferencial pode também escrever-se dy M( x, y )

N( x, y ) dx N( x, y )

ou seja, M( x, y )dxN( x, y )dy 0

Equações diferenciais de variáveis separáveis

Se numa equação diferencial da forma M( x, y )dxN( x, y )dy 0, é possível decompor os coeficientes M( x, y ) e N( x, y )em fatores tais que as variáveis x e y aparecem separadas, isto é, M( x, y ) a( x ).b( y ) e N( x, y ) c( x ).d( y ), a equação classifica-se de variáveis separáveis.

Resolução de equações diferenciais de variáveis separáveis

Se a equação é de variáveis separáveis então podemos passar da forma Canônica

( x, y )dxN( x, y )dy 0 para a forma a( x ).b( y )dxc( x ).d( y )dy0.

Separando as variáveis x e y, de forma a que os coeficientes de dx e dy sejam respectivamente funções de x e de y, resulta uma equação de variáveis separadas.

Equações diferenciais lineares

Uma equação de primeira ordem diz-se linear se é do primeiro grau na função incógnita e na sua primeira derivada, podendo representar-se simbolicamente por:

y'P( x )yQ( x )

com P(x) e Q(x), funções contínuas.

Se Q(x)=0, y'P( x )y 0 diz-se uma equação linear homogênea, que é uma equação de variáveis separáveis. Se Q(x) 0, a equação linear é não homogênea, completa ou com segundo membro.

Equações de bernouilli

Uma equação de primeira ordem diz-se de Bernouilli se pode ser reduzida à forma

Canônica y'P(x)y Q(x)yn

com P(x) e Q(x), funções contínuas e n constante.

Resolução de equações de bernouilli

Para resolver uma Equação de Bernouilli primeiro que tudo multiplicamos ambos os

membros da equação por yn e obtemos

yn y'P(x)y1n Q(x)

Seguidamente fazemos a mudança de variável z y1n com z'(1n)y n y' e

Obtemos, z'(1n)P(x)z (1n)Q(x) que é uma equação diferencial linear de primeira ordem.Integra-se e seguidamente regressa-se à variável y fazendo z = y1- n.

2.4 Passo 4 (equipe)

Pesquisar, em livros, artigos e sites, sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio de

equações diferenciais.

Sites sugeridos para pesquisa

• Modelagem Matemática Baseada nas Leis de Kirchoff. Disponível em:

<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3VGMxNE40d3FpMEU/edit?us

p=sharing>. Acesso em: 5 jun. 2013.

• Simulação e Modelagem Computacionais no Auxílio na Aprendizagem Significativa de

Conceitos Básicos de Eletricidade. Disponível em:

<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3eUtTcXhxQnZCOFk/edit?usp=

sharing>. Acesso em: 5 jun. 2013.

• Circuitos de Corrente Elétrica Alternada II. Disponível em:

<https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3MWtHVVRJTUVFN00/edit?us

p=sharing>. Acesso em: 5 jun. 2013.

2.4.1 Modelagem de circuitos elétricos

A modelagem matemática de circuitos elétricos é baseada nas leis de Kirchhoff.

Constitui-se basicamente de equações diferenciais de primeira e segunda ordem, este artigo não tem como foco os detalhes relacionados com a eletricidade e sim mostrar a importância da aplicabilidade da modelagem matemática.

2.4.2 Circuitos elétricos

Os circuitos elétricos são componentes essenciais de muitos sistemas dinâmicos complexos. Em nossa vida, estamos cercados por aparelhos que são constituídos de sistemas elétricos, por exemplo, um controlador de driver de disco de um computador ou o controlador da velocidade de um automóvel necessita de certos circuitos elétricos para funcionar.As leis básicas que regem os circuitos elétricos são as de Kirchhoff, das correntes e das tensões (OGATA, 2003, p.74). Tais leis são baseadas no Princípio de Conservação da Carga Elétrica e no Princípio da Conservação da Energia.

Essas leis são assim chamadas em homenagem ao físico alemão Gustav Kirchhoff (1824 – 1887) e foram formuladas por volta do ano de 1845.

modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita pela aplicação de uma ou ambas as leis, também chamadas de Lei de Nós e/ou Lei das Malhas. Basicamente, um sistema completo deve satisfazer as duas leis de Kirchhoff.

2.4.3 Circuitos RLC

Os circuitos elétricos são basicamente formados por componentes lineares passivos: resistores de resistência R (ohm), indutores de indutância L (henry), capacitores de capacitância C (farad), e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial é indicada v(t). A figura 01 mostra um exemplo de circuito RLC.

Entre os elementos de um circuito RLC, existem algumas relações importantes, entre tensão e corrente e entre tensão e carga, que podem ser observadas na tabela abaixo:

A 1ª Lei de Kirchhoff é chamada de Lei das Correntes ou Lei dos Nós.

Nó é um ponto no circuito onde dois (ou mais) condutores são ligados. A 1ª Lei de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que chegam a um nó de um circuito elétrico é igual à soma das correntes que saem deste mesmo nó, essa lei é baseada no Princípio da Conservação da carga elétrica.

podemos analisar como funciona a 1ª Lei de Kirchhoff. A força das correntes i2 e i3 que chagam ao nó é a mesma corrente que saem pare i1 e i4.

I 2 + I3 = I1+ I4

Um exemplo da aplicação desta em lei em um circuito elétrico pode ser observado na figura 04.

As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que

estabelecem:

• A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é

igual a zero.

• A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero.

A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do

circuito. Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se

soluciona a Função de Transferência.

Considerando o seguinte circuito:

O circuito RC é composto de uma fonte de tensão, vi (t), em série

com um resistor R e um capacitor C, que é denominado como um circuito de primeira ordem, pois as tensões e correntes são definidas por equações diferenciais de primeira ordem. Nesse circuito elétrico podemos aplicar a Lei dos Nós de Kirchhoff.

Aplicando a Lei dos Nós nesse circuito temos o seguinte modelo matemático:

Substituindo i(t) em (2) pela relação (1), surge uma equação

diferencial de primeira ordem:

A Lei das Tensões (ou Lei das Malhas) é a segunda lei de Kirchhoff, ela nos diz que em um circuito fechado, a voltagem imposta é igual à soma das quedas de voltagem no restante do circuito.

Para a Lei das Malhas vamos usar um modelo de circuito RLC simples para fazer a modelagem matemática. O circuito RLC consiste de uma fonte de tensão vi (t) em série com um resistor R, um indutor L e um capacitor C, de acordo com o diagrama abaixo:

A soma das quedas dos potenciais ao longo da malha deve ser nulo:

A queda de tensão no indutor é proporcional a taxa de variação da corrente, sendo L a constante de proporcionalidade.

A corrente através do capacitor é proporcional a taxa de variação da queda de tensão no capacitor, obtemos assim o sistema de equações diferenciais de 1a ordem:

Os modelos apresentados, baseados nas leis de Kirchhoff, possuem importância fundamental para os sistemas elétricos, especificamente para os circuitos elétricos. Através de figuras e equações, foi demonstrada a origem das mesmas utilizadas, tendo como base a lei de nós e lei das malhas.

Como demonstrado, não há necessidade da utilização de ambas as leis para a construção de um modelo matemático de sistema elétrico simples. No entanto, o que irá mostrar qual das leis será utilizada é a complexidade e a aplicabilidade do circuito.

3. Etapa 2

Aulas-tema: Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior.

Esta atividade é importante para você compreender quais são os princípios físicos

envolvidos na construção de uma equação diferencial, e consolidar as técnicas de modelagem de problemas de engenharia por meio de equações diferenciais de ordem superior.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos

3.1 Passo 1 (equipe)

Escolher um dispositivo cujo circuito elétrico será estudado. Identificar os elementos desse

circuito e determinar a função de cada elemento no referido circuito.

3.1.1 Circuitos RC

Todo e qualquer dispositivo eletrônico, ao ser ligado em um circuito elétrico, introduz uma certa dificuldade à passagem do elétron. Em se tratando de resistores, tal dificuldade é expressa pelo valor da resistência do dispositivo, porém como estimar a resistência apresentada por um capacitor?

Inicialmente e bom lembrar que um capacitor somente permite a passagem de corrente quando operado com corrente alternada. Em circuitos capacitivos, a corrente está “adiantada” de π/2 em relação à tensão.

Quando estamos trabalhando com corrente contínua, os circuitos são realmente apenas resistivos. Não há freqüência, por que não há inversão de corrente e, portanto, não há também ângulo de defasagem entre tensão e corrente.

Já quando utilizamos corrente alternada geralmente os circuitos poderão ter uma mescla de resistência e capacitância. São os chamados circuitos RC, pois nos capacitores haverá sempre algum valor de resistência elétrica dos condutores.

Esta resistência, que na realidade é uma oposição à passagem da corrente elétrica, é chamada de:

Resistência (R) em um circuito essencialmente resistivo;

Reatância capacitiva (ZC) quando a tensão que movimenta a corrente é aplicada aos terminais de um capacitor:

ZC = 1/wC ou ZC = 1/2πf C, onde C é a capacitância elétrica em Farads.

Quando a oposição à passagem da corrente é imposta por resistores, indutores e capacitores em conjunto, ela é denominada impedância (Z). Portanto, em circuitos de corrente alternada devemos considerar que a relação entre tensão e corrente é chamada de impedância daquele componente em estudo.

Em particular, este circuito é capaz de atuar como filtro passivo de freqüência.

tensão em cada elemento do circuito em função da freqüência da tensão de entrada.

queda de tensão em função da freqüência da tensão de entrada para ambos os elementos de um circuito RC em série.

Uma análise do domínio da freqüência irá mostrar quais freqüências os circuitos permitem a passagem ou rejeita. Esta análise se concentra em uma consideração sobre o que acontece com estes ganhos conforme a freqüência se torna muito grande ou muito pequena.

e Isto mostra que, se a saída é obtida através do capacitor, as altas freqüências são atenuadas (rejeitadas) e a baixas freqüências passam. Desta forma, o circuito se comporta como um filtro passa-baixas. Entretanto, se a saída é obtida através do resistor, as altas freqüências passam e as baixas freqüências são rejeitadas. Nesta configuração, o circuito se comporta como um filtro passa-altas.

A faixa de freqüências que o filtro passa é chamada de largura de banda, e é determinada pela seguinte equação:

Quando a freqüência da tensão de entrada é igual a fc, VC=VR.

Para o nosso gráfico, fc=0,15Hz. Tal valor é observado na intersecção entre as duas curvas.

Dados:Resistor: Um resistor (frequentemente chamado de resistência, que é na verdade a sua medida) é um dispositivo elétrico muito utilizado em eletrônica, ora com a finalidade de transformar energia elétrica em energia térmica por meio do efeito joule, ora com a finalidade de limitar a corrente elétrica em um circuito.

Capacitor: Capacitor (português brasileiro) ou condensador (português europeu) é um componente que armazena energia num campo elétrico, acumulando um desequilíbrio interno de carga elétrica.

Fonte de tensão: Todo dispositivo eletroeletrônico necessita de energia elétrica para seu funcionamento. A fonte de tensão é o lugar onde tais dispositivos buscam essa energia que proporciona seu funcionamento.

3.2 Passo 2 (equipe)

Transformar, se possível, o circuito elétrico escolhido em um circuito elétrico equivalente, observando, para isso, as associações em série ou em paralelo de seus elementos (resistores e capacitores, por exemplo).

3.3 Passo 3 (equipe)

Representar o circuito elétrico (ou o circuito elétrico equivalente) escolhido em um diagrama, com base na simbologia dos elementos elétricos.

Sites sugeridos para pesquisa

• Símbolos para circuitos eléctricos. Disponível em: <

https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3alJYYmNkOXdLbFU/edit?usp=s

haring >. Acesso em: 30 maio 2013.

• Simbologia: Eletrônica. Disponível em: <

https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3d1pSTTdBTi1xRDA/edit?usp=sh

aring >. Acesso em: 30 maio 2013.

3.4 Passo 4 (equipe)

Modelar o circuito elétrico observando as técnicas de equações diferenciais, detalhando cada etapa da modelagem.

3.4.1 Resolução dos passos 2, 3 e 4

Não é possível realizar a transformação de um circuito elétrico em um circuito equivalente, pois não se pode unir os componentes Resistor e Capacitor em um só dispositivo. Para que essa transformação seja possível seria necessário incluir outro resistor e capacitor.

Vamos usar o princípio da conservação da energia para determinar a equação diferencial que descreve o comportamento deste circuito. Inicialmente, quando a chave S é conectada ao ponto ‘a’, o capacitor está descarregado. A partir deste momento ele começa a ser carregado pela bateria onde V é a diferença de potencial entre as placas do capacitor.

Para cada carga dq fornecida pela bateria, esta realiza um trabalho

dW=edq

Este trabalho transforma-se em energia dissipada no resistor,

Ri2dt

e em energia acumulada no capacitor,

onde V é a diferença de potencial entre as placas do capacitor.

Pela conservação de energia,

Levando em conta que , obtém-se

A equação tem como solução

q(t) = eC(1 – e-t/RC)

O crescimento da carga no capacitor tem uma componente exponencial, de modo que, rigorosamente, ela só atingirá seu valor final, eC, num tempo infinito.

Para cada circuito RC há um tempo característico, t=RC, denominado constante de tempo capacitiva. Quando t=RC, a carga no capacitor atinge 63% do seu valor máximo.

Decorrido um longo intervalo de tempo (p.ex., t=10RC)), a chave S é desconectada de ‘a’ e conectada em ‘b’. A partir deste momento inicia-se o processo de descarga do capacitor. Colocando-se e=0 na equação obtém-se

Por integração direta chega-se à expressão que descreve a variação da carga durante a descarga do capacitor,

q(t) = eCe-t/RC

Vi (t) = R.i (t) + 1 i (t) dt => TENSÃO DE ENTRADA

VR (T) = R.i (t) => TENSÃO RESISTOR

VC (t) = 1 i (t) dt => TENSÃO CAPACITOR

Conclusão

Após as análises obtidas através dos cálculos utilizados e pesquisas realizadas , concluímos que as equações diferenciais são ferramentas de grande necessidade para se obter as soluções mais precisas em problemas eletrônicos, auxiliando para se obter uma resposta correta para necessidade.

Referências

Etapa 1 – Passo 1

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS E APLICAÇÕES . Acesso em: 28 de agosto de 2013 as 10:15

APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

. Acesso em: 29 maio 2013 as 10:30

Etapa 1 – Passo 2

1- Simmons, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1, Makron Books do Brasil Editora Ltda, S. P., 1987, a) pg. 231, b) pg. 278;

2- Munem, A. M. e Foulis, D. J., Cálculo,vol. 1, Guanabara Dois, R. J., 1982, a) pg. 303; b) pg. 287;

3- Kaplan, W., Cálculo Avançado, vol. 1, Editora da Universidade de São Paulo, S. P., 1972, a) pg. 24; b) pg. 26;

4- Thomas Jr, G. B. e Finney, R. L., Cálculo Diferencial e Integral, vol. 1, Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., R. J., 1982, a) pg. 193; b) pg. 220;

Etapa 1 – Passo 3

www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/72/.../parte3_edo.pdf‎. Acesso em 27 agosto 2013 as 13:30.

Etapa 1 – Passo 4

https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3VGMxNE40d3FpMEU/edit?us p=sharing>. Acesso em 27 agosto 2013 as 14:22.

[1] OGATA, Katsuhiko. “Engenharia de Controle Moderno”. 4. Ed. São Paulo, Pearson Prentice Hall, 2003.

[2] SISTEMAS ELETRICOS E ELETRONICOS.

Disponivel:http://www.feng.pucrs.br/~gacs/new/disciplinas/model/apostilas/Aula4.pdf. Acessado em 09 de junho de 2012.

[3] COLAÇO, Elíbia Teresa Moreira. “Modelagem e Simulação de Circuitos Elétricos”. Disponível emhttp://www.dee.ufcg.edu.br/~pet/downloads/modelagem.pdf. Acessado em 09 de junho de 2012.

[4] SANTOS, Hélio Clementino dos. “Planejamento da Expansão de Sistemas de Transmissão considerando a Retirada de Linhas de Transmissão”. Disponível em http://www.dee.feis.unesp.br/pos/teses/arquivos/210-dissertacao_helio_clementino_dos_santos.pdf http://www.dee.feis.unesp.br/pos/teses/arquivos/257- issertacao_walney_a_martins.pdf. Acessado em 09 de junho de 2012.[5] “LEI DE KIRCHHOFF”. Disponível em http://www.electronica-pt.com/index.php/content/view/46/37/. Acessado em 11 de junho de 2012

[6] “LEIS DE KIRCHHOFF”. Disponivel em http://www.infoescola.com/eletricidade/leis-de-kirchhoff/ http://pt.scribd.com/doc/58053011/Modelagem-de-sistemas-dinamicos

http://www3.fsa.br/mecanica/arquivos/MEC442% 20-% 20Modelagem% 20Josemar.pdf

http://www.ufsm.br/gepoc/renes/Templates/arquivos/elc418/elc418-cap4.pdf. Acessado em 11 de junho de 2012.

[7] TAGLIALENHA, Silvia L. de S.”Novas aplicações de metaheuristicas na solução do problema de planejamento da expansão do sistema de transmissão de energia elétrica”. Tese apresentada á faculdade de engenharia – UNESP – Campus de Ilha Solteira, para obtenção do titulo de doutor em Engenharia Elatrica. Ilha Solteira, 2008.

[8] SODRÉ, Ulysses. “Equações diferenciais ordinárias”. Notas de aula. Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil, 2003.

[9] SANTOS, Josemar dos. “Modelagem Matemática: modelos matemáticos de circuitos elétricos”.

Etapa 2 – Passo 2

http://www.brasilescola.com/fisica/circuitos-mistos.htm

Etapa 2 – Passo 3

http://investirdinheiro.org/curso-eletronica-simbologia-circuitos-eletricos-simples/

Símbolos para circuitos eléctricos. Disponível em:

. Acesso em: 28 agosto 2013 as 19:00

Simbologia: Eletrônica. Disponível em:

. Acesso em: 28 agosto 2013as 19:25.