Equações

Na matemática, uma equação é uma afirmação que estabelece uma igualdade entre duas expressões matemáticas.1 2

São exemplos de equações as seguintes igualdades:

x + 8 = 15

x^3 - 9x^2 - 7 = 4

3sen(x) + 25cos(x) = 18

3x^4 - x^3 + 5x^2 - 34x + 1211 = 0

tg(3y-25) + sen^3(cos(y^2 +4y -1))= 255

Nesses exemplos, as letras x e y são as incógnitas de suas equações. A incógnita de uma equação é o número desconhecido que se quer descobrir.

A equação x+8 = 15 pode ser interpretada como uma pergunta: "qual o número que somado com 8 dá 15?". Não é necessário nenhum método ou fórmula para encontrar o valor de x nesse caso: basta pensar um pouco para se chegar ao resultado x = 7.

Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a incógnita que tornem a igualdade verdadeira.3 As equações mostradas nos exemplos acima podem ser interpretadas e resolvidas facilmente: o número que subtraído de 10 é igual a 4 é m = 6; o número que, ao ser multiplicado por 3, resulta em 18 é y=6.

Uma solução da equação também é chamada raiz da equação.

Algumas equações matemáticas descrevem, na verdade, identidades matemáticas, isto é, afirmações que são verdadeiras para todos os valores de x,2 como nos exemplos:

x(x+5) = x^2 + 5x

\mbox{sen}^2 x + \cos^2 x = 1

Entretanto, uma equação pode ter apenas alguns valores para os quais ela se torna verdadeira. Nesse caso, ela deve ser resolvida para se encontrar os valores possíveis para as incógnitas. Por exemplo, considere a equação:

x^2 - 3x = 0.

Ela é satisfeita para exatamente dois valores de x, a saber, x=0 e x=3.

Em geral, os matemáticos reservam a palavra equação exclusivamente para igualdades que não são identidades. A distinção entre esses dois conceitos pode ser bastante sutil. Por exemplo:

(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1

é uma identidade, mas:

(x + 1)^2 = 2x^2 + x + 1

é uma equação cujas soluções são x = 0 e x = 1.

Em geral, é possível perceber se se trata de uma identidade ou de uma equação pelo contexto em que a igualdade se encontra. Em alguns casos, na identidade, o sinal de igualdade (=) é trocado pelo sinal \equiv.