Equações Difencias

1. Equações Diferenciais

1.1 Equações Diferenciais – definicoes basicas

Equacao diferencial e uma equacao onde aparecem uma funcao e suas derivadas. Por exemplo, f ′(x) + f (x) = cosx e y′′ − 4y′ + 5y + 3 = x3 + 3x sao exemplos de equacoes diferenciais.

Uma solução (exata) para uma Equações Diferenciais e uma função que torna a equação uma sentenca verdadeira para quaisquer valores das variaveis quando a função e substituıda na equação. Por exemplo, y = e3x e uma solucao da equacao y′ − 3y = 0 porque, ao substituirmos y na equacao, obtemos 0 = 0 apos a simplificacao.

Uma equações diferencial e denominada ordinaria se a funcao envolvida possuir apenas uma variavel. Se a funcao tiver varias variaveis, entao a equacao chama-se parcial.

A ordem de uma equacao diferencial e a ordem da derivada mais alta que aparecer na equação. Por exemplo, y′′′ − y′′ + 5y = x5 + 2x − 1 e uma equação diferencial ordinaria de terceira ordem.

1.2 Definicoes basicas

Um problema de valor inicial (PVI) e uma equação diferencial mais algumas condições iniciais do tipo y0 = y(x0), y1 = y′(x0), etc. A quantidade de condições iniciais fornecidas depende da ordem da equação.

Em geral, a determinacao da solução exata de uma equação diferencial envolve o calculo de uma ou varias primitivas. Por isso, na maioria dos casos, o calculo da solução exata e difıcil ou impossıvel de ser realizado utilizando-se apenas as conhecidas funcoes elementares (trigonometricas, logarıtmicas, hiperbolicas, polinomiais, etc.). Ate mesmo equações de aparência muito simples podem ser impossıveis de se resolver de forma exata. Por exemplo, ninguem consegue determinar a solução exata de y′ = x2 + y2 usando so as funcoes elementares conhecidas – note que e ate difıcil imaginar um problema de aparencia tao simples!

A resolução de equações diferenciais e um problema importantıssimo porque possui aplicações a diversas áreas do conhecimento tais como Matematica Aplicada, Fısica, Engenharia e Computacao Grafica.

Devido a impossibilidade de se determinar a solução exata na maioria dos casos, desenvolveram-se tecnicas de determinação de solução numerica aproximada da equação.

A resolução numerica aproximada nao envolve calculo de primitivas. Envolve apenas uma sequencia de passos onde sao usados operações aritmeticas basicas e calculo de valores de funções. Neste caso, nâo se determina uma função, mas uma tabela de valores de pontos que devem estar muito proximos do grafico da função que seria a solução da equação.

Uma solucao aproximada e uma tabela de valores que inicia com(x0,y0), proximos do grafico da função que seria a solução da equação.

1.3 Metodo de Euler

O metodo mais simples para se encontrar pontos (xn,yn) proximos do grafico da solução do PVI y′ = f (x,y), y(x0) = y0 e o metodo de Euler. A obtenção da formula que define esse metodo e bem simples e consiste apenas em utilizar a definicao de derivada da funcao y(x) no ponto em que x = xn:

Portanto, se h for proximo de 0, temos a aproximação

Metodo de Euler

Lembrando que a equação em estudo e y′ = f (x,y), temos que a aproximação citada anteriormente e o mesmo que

Observando a aproximação anterior, definimos: xn+1 = xn + h, yn = y(xn) e

Dessa forma, a aplicacão do metodo de Euler para o citado PVI, consiste em, a partir do ponto inicial (x0,y0) dado, ir calculando varios pontos (xn,yn), utilizando as formulas xn+1 = xn + h e yn+1 = yn + hf (xn,yn).

Exemplo 1

Solução

Exemplo 1

Observações

O valor de h deve ser escolhido proximo de 0. Quanto mais proximo de 0, melhor sera a precisão dos valores obtidos. No entanto, quanto menor o h, maior o tempo gasto na resolucão.

Exemplo 1

Por uma questão meramente organizacional, os dados obtidos podem ser dispostos em forma de tabela:

n xn yn f (xn, yn)

A utilidade dos valores da coluna f (xn,yn) e so na hora de calcular a linha seguinte.

Exemplo 1

Observação

O problema deste exemplo e muito simples e, por causa disso, sua solução exata pode ser calculada usando-se uma tecnica conveniente:

Usando essa funcao, podemos calcular os pontos que realmente estao distancia entre cada um desses pontos e os (xn,yn) da tabela fornecem os erros nos calculos de cada ponto.

1.5 Metodo de Runge-Kutta

O metodo mais famoso para resolucao numerica de equacoes diferenciais foi elaborado pelos matematicos alemaes Carl David Runge (1856–1927) e Martin Wilhelm Kutta (1867–1944).

O metodo elaborado por essa dupla no inıcio do seculo X e um metodo simples e bastante eficiente.

Metodo de Runge-Kutta

O metodo de Runge-Kutta e um aperfeiçoamento do metodo de Euler e consiste em somar ao yn não apenas um valor de k1, mas uma media de varios valores de k1, k2, k3, · · · .

Metodo de Runge-Kutta de 2a ordem (RK2)

Para cada valor inteiro de n, a partir de n = 0, calculam-se: