Equações Diferenciais Anhanguera

ETAPA 1

Passo 1

A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia. Modelagem matemática consiste na Arte de se descrever matematicamente um fenômeno.

Na matemática através deste método, elaboramos uma função onde temos uma variável como “fator” principal em relação ao tempo; e através desta de acordo com os resultados finais; também podemos fazer uma representação gráfica. Assim, podendo utilizar em uma pesquisa populacional ou ate mesmo para verificar o crescimento de um tumor.

Portanto, as modelagens através de equações diferenciais nos explicam o comportamento de certos sistemas. Equação diferencial é conjuntos de derivadas pertencentes ao uma função desconhecida da variável.

Uma equação diferencial ordinária geralmente não possui perturbações ou quando há são pequenas, por exemplo, em um crescimento de uma população não é levada em consideração acidentes, doenças mas sim um ambiente perfeito para o acrescimento populacional em função do tempo.

A modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

O sistema de modelagem analisa a melhor maneira de alcançar um resultado, enquanto as equações diferenciais possuem um nível de exatidão muito grande, tornando em muitas vezes um método bem viável.

A sua aplicabilidade é notada na fórmula S=So + VoT + (AT²)/2 . O que se percebe na forma de S(t) = F’’(t) + F’(t) + F(t) do qual é um sistema preciso e completo quesito de calcular a velocidade, espaço, aceleração e tempo. Por este motivo, está diretamente ligada à modelagem e sua fórmula é na utilização de Equações Diferenciais.

De acordo com Rangel "Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis. Mesmo alguns sistemas naturais mais complexos comportam modelagens em termos de equações diferenciais bem conhecidas. Por outro lado, problemas cuja modelagem exige equações diferenciais mais complicadas podem, hoje em dia, ser tratados através de métodos computacionais. Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas através de equações diferenciais são de suma importância para a compreensão de problemas reais, apresentando aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento e, em particular, em Ciências Naturais".

Passo 2

A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso, o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.

Método de conjecturar e verificar

Uma boa estratégia para se encontrar primitivas simples é fazer uma conjectura de qual deve ser a resposta e depois verificar sua resposta derivando-a. Se obtivermos o resultado esperado, acabou. O método de conjecturar e verificar são útil na inversão da regra da cadeia.

Método por substituição

Quando o integrado e complicado utilizamos essa técnica para formalizar o método de conjeturar e verificar da seguinte maneira

Dw = w´(x) dx = (dw/dx) dx

No método de substituição parece que tratamos dw e dx como entidades separadas, até cancelando-as da equação dw= (dw/dx)dx.

Método Por partes

A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto.

D(uv) = udv + vdu

Passo 3

Equações diferenciais lineares de variáveis separáveis:

A equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 será de variáveis separáveis se:

- M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.

- M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y)dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.

Uma equação diferencial de variável separada é uma equação do tipo:

g(y) dy = f(x)dx

A solução geral da equação diferencial de variável separada obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja,

∫g(y)dy = ∫f(x)dx+C.

Chama-se equação de variáveis separáveisuma equação do tipo:

F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y)dy

Na qual ocoeficiente