Espaço Torial Normado

Espaço Vetorial Normado

Vamos definir agora importantes definições de norma de um vetor e de matriz. Com isso estaremos aptos a definir, quando oportuno, as noções de limite de uma sequencia de vetores ou de matrizes, de grande utilidade, entre outros, no estudo de convergencia de métodos iterativos de solução de sistemas lineares e do problema de erros de arredondamento nos Chama-se norma de um vetor x-em símbolo, ||x|| - qualquer função definida num espaço vetorial E, com valores em IR, satisfazendo as seguintes condições:

N1) ||x|| ≥0 se, e somente se, x =ѳ(vetor nulo),

N2) ||λx|| = |λ| ||x|| para todo escalar λ,

N3) ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||(desigualdade triangular).

Um espaço vetorial E onde está definida uma norma é chamado espaço vetorial normado.

Duas normas ||.||ᵅ ≤||x||ᵇ≤k₂ ||x||ᵅ, ⩝ x ⋲ E.

Seja E um espaço euclidiano de dimensão n. Os vetores f₁,f₂,...,fᴺ formam uma base ortogonal de E se eles forem vetores ortogonais dentre eles são ortogonais.

Num espaço euclidiano, um conjunto ortonormal de vetores é sempre linearmente independente.

Chama-se norma de uma matriz A –em símbolo, ||A||-qualquer função definida no espaço vetorial das matrizes nXn, com valores em IR, satisfazendo as seguintes condições:

M1) ||A|| ≥0 e ||A||=0 se e somente se A=ѳ(matriz nula),͚

M2) ||λA|| = |λ| ||A|| para todo escalar λ,

M3) ||A+B||≤||A|| + ||B||(desigualdade triangular).