Fenomedo De Tranpotes

Notas sobre Diffy Qs

Equações Diferenciais para Engenheiros

Autor da versão original: Jiˇrí Lebl Adaptação a MTM 5163 e Tradução: Martin Weilandt

16 de novembro de 2011

2

Typeset in L ATEX.

Copyright c

2008–2011 Jiˇrí Lebl

Esta obra foi licenciada com a Licença Creative Commons Atribuição - Uso Não Comercial - Partilha nos Mesmos Termos 3.0 Estados Unidos. Para ver uma cópia desta licença, visite http:// creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/us/deed.pt_BR ou envie um pedido por carta para Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. Você pode usar, imprimir, copiar e partilhar estas notas de aula tanto quanto quiser. Você pode basear suas próprias notas nestas e reutilizar partes se você preserva a licença. Se você pretende usar elas para fins comerciais (i.e. vender elas para mais que os custos de copiar), tem de entrar em contato com Jiˇrí Lebl para pedir permissão. Estas notas são uma adaptação do livro original ao currículo do curso MTM 5163 da UFSC. A versão atual mantida por Martin Weilandt fica diponível em http://mtm.ufsc.br/~martin. Veja http://www.jirka.org/diffyqs/ para mais informaçoes (incluindo contato) sobre a versão original de Jiˇrí Lebl.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 United States License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/ licenses/by-nc-sa/3.0/us/ or send a letter to Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA. You can use, print, duplicate, share these notes as much as you want. You can base your own notes on these and reuse parts if you keep the license the same. If you plan to use these commercially (sell them for more than just duplicating cost), then you need to contact Jiˇrí Lebl and ask for permission. These notes are an adaption of the original book to the curriculum of MTM 5163 at UFSC. The current version maintained by Martin Weilandt can be found on http://mtm.ufsc.br/~martin. See http://www.jirka.org/diffyqs/ for more information (including contact information) about the original version by Jiˇrí Lebl.

Sumário

3 Equações diferenciais de primeira ordem 5 3.1 Introdução a equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Integrais como soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3 Campos de Direção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4 Equações separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.5 Equações exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.6 Equações lineares e o fator integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.7 Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Equações diferenciais ordinárias de ordem superior 37 4.1 EDOs lineares de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 EDOs de segunda ordem de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Outras EDOs de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.4 EDOs lineares de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.5 Equações não-homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Leitura Adicional 65

Soluções de Alguns Exercícios 67

Índice Remissivo 69

3

4 SUMÁRIO

Capítulo 3

Equações diferenciais de primeira ordem

3.1 Introdução a equações diferenciais

Note: , Capítulo 1 em [BD]

3.1.1 Equações diferenciais

As leis da física geralmente são escritas com equações diferenciais. Portanto, toda ciência e engenharia usa equações diferenciais até um certo grau. Entender equações diferenciais é essencial para entender quase tudo que você vai estudar nas suas aulas de ciência e engenharia. Você pode pensar na matemática como a linguagem de ciência e equações diferenciais como uma das partes mais importantes desta linguagem para ciência e engenharia. Como analogia suponha que todas suas classes a partir de agora são dadas em swahili. Neste caso seria importante aprender swahili primeiro, senão você vai ter problemas de obter uma boa nota nas suas outras classes. Você já viu muitas equações diferenciais talvez sem saber disso. E você até já resolveu equações diferenciais simples em outras classes de Cálculo. Vamos ver um exemplo que você provavelmente ainda não viu: dx dt + x = 2cost. (3.1) Aqui x é a variável dependente e t é a variável independente. Equação (3.1) é um exemplo básico duma equação diferencial. De fato, ela é um exemplo duma equação diferencial de ordem um, pois ela envolve apenas a primeira derivada da variável dependente. Esta equação resulta da lei de Newton sobre esfriamento onde a temperatura ambiente oscila com o tempo.

3.1.2 Soluções de equações diferenciais

Resolver a equação diferencial significa achar x em termos de t. Isto é, nós queremos achar uma função em t, que nós vamos chamar x, tal que quando nós colocamos x, t, e dx dt em (3.1),aequação

5

6 INTRODUÇÃO

vale. É a mesma ideia que seria para uma equação normal (algébrica) só de x e t. Nós afirmamos que x = x(t) = cost + sent

é uma solução. Como nós checamos? Nós simplesmente colocamos x na equação (3.1)!Primeiro temos de calcular dx dt . Nós achamos que dx dt = −sent + cost. Agora vamos calcular o lado esquerdo de (3.1). dx dt + x = (−sent + cost) + (cost + sent) = 2cost. Yay! Nós obtemos exatamente o lado direito. Mas tem mais! Nós afirmamos que x = cost+sent+e−t também é uma solução. Vamos tentar,

dx dt

= −sent + cost − e−t.

De novo colocando no lado esquerdo de (3.1)

dx dt

+ x = (−sent + cost − e−t) + (cost + sent