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Fenomeno De Transporte

Artigos Científicos: Fenomeno De Transporte. Pesquise 861.000+ trabalhos acadêmicos

Por:   •  20/5/2014  •  8.789 Palavras (36 Páginas)  •  1.002 Visualizações

Página 1 de 36

1 MECÂNICA _____________________________________________________________________ 1

1.1 Introdução ____________________________________________________________________ 1

1.2 Conceitos Fundamentais _________________________________________________________ 2

1.3 Sistema Internacional de Unidades _________________________________________________ 2

1.4 Trigonometria__________________________________________________________________ 4

1.5 Alfabeto Grego _________________________________________________________________ 6

2 ESTÁTICA ______________________________________________________________________ 7

2.1 Forças no plano ________________________________________________________________ 7

2.2 Equilíbrio de um ponto material ___________________________________________________ 7

2.3 Resultante de uma força _________________________________________________________ 8

2.4 Momento de uma força _________________________________________________________ 14

2.4.1 Momento de um sistema de forças coplanares _____________________________________ 14

2.4.2 Teorema de Varignon ________________________________________________________ 14

2.4.3 Momento de um binário ______________________________________________________ 15

2.4.4 Equilíbrio de corpos rígidos ___________________________________________________ 18

2.5 Apoios _______________________________________________________________________ 19

2.6 Tipos de Estruturas ____________________________________________________________ 20

2.6.1 Estruturas hipostáticas _______________________________________________________ 20

2.6.2 Estruturas isostáticas_________________________________________________________ 20

2.6.3 Estruturas hiperestáticas______________________________________________________ 20

3 TRELIÇAS _____________________________________________________________________ 21

3.1 Definição ____________________________________________________________________ 21

3.2 Método do equilíbrio dos nós _____________________________________________________ 22

4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES_____________________________________________________ 28

4.1 Introdução ___________________________________________________________________ 28

4.2 Diagrama tensão-deformação ____________________________________________________ 29

4.3 Tensão admissível______________________________________________________________ 30

4.4 Lei de Hooke__________________________________________________________________ 30

4.4.1 Coeficiente de Poisson________________________________________________________ 32

4.4.2 Forma geral da Lei de Hooke - Teoria da Elasticidade _______________________________32

4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas ___________________________________________ 35

4.6 Tensões iniciais e Tensões Térmicas _______________________________________________ 38

4.7 Tensão de cisalhamento_________________________________________________________ 41

5 MOMENTO DE INERCIA DAS FIGURAS PLANAS____________________________________ 44

5.1 Área_________________________________________________________________________ 44

5.2 Momento Estático (ou Momento de Inércia___________________________________________45

5.3 Centro de Gravidade____________________________________________________________ 46

5.4 Momento de Inércia ____________________________________________________________ 50

5.5 Translação de eixos ____________________________________________________________ 51

5.6 Módulo Resistente _____________________________________________________________ 53

5.7 Raio de Giração _______________________________________________________________ 54

6 ESFORÇOS SOLICITANTES______________________________________________________ 57

6.1 Introdução ___________________________________________________________________ 57

6.2 Classificação dos esforços solicitantes _____________________________________________ 57

6.3 Convenção de sinais____________________________________________________________ 58

7 VIGAS _________________________________________________________________________ 60

7.1 Introdução ___________________________________________________________________ 60

7.2 Tipos de cargas________________________________________________________________ 60

7.2.1 Cargas distribuídas __________________________________________________________ 60

7.3 Apoios ou vínculos _____________________________________________________________ 61

7.4 Equações diferenciais de equilíbrio________________________________________________ 75

8 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO_________________________________________ 85

8.1 Hipóteses admitidas ____________________________________________________________ 85

8.2 Tensões normais na flexão ______________________________________________________ 86

8.3 Tensões de cisalhamento na flexão ________________________________________________ 92

9 DEFORMAÇÕES NAS VIGAS _____________________________________________________ 97

BIBLIOGRAFIA ____________________________________________________________________ 104

Matemática - Série Concursos Públicos

Curso Prático & Objetivo

Resistência dos Materiais - Apostila II

LISTA DE SÍMBOLOS

letras maiúsculas

A área

E módulo de elasticidade

F força

I momento de inércia

L comprimento

M momento, momento fletor

Ms momento estático

N força normal

P carga concentrada

R resultante de forças, esforço

resistente

S esforço solicitante

V força cortante

letras minúsculas

a aceleração

b largura

g aceleração da gravidade

h dimensão, altura

l comprimento

m metro, massa

max máximo

min mínimo

q carga distribuída

s segundo

v deslocamento vertical

x distância da linha neutra ao ponto de

maior encurtamento na seção

transversal de uma peça fletida

letras gregas

α, θ ângulo, coeficiente

δ deslocamento

φ diâmetro

ε deformação específica

f γ coeficiente de majoração das ações

σ tensão normal

σ tensão normal admissível

τ tensão tangencial

τ tensão tangencial admissível

υ coeficiente de Poisson

índices

adm admissível

c compressão

f ação

t tração, transversal

w alma das vigas

max máximo

min mínimo

Matemática - Série Concursos Públicos

Curso Prático & Objetivo

1

1 MECÂNICA

1.1 Introdução

A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos

movimentos. A Mecânica descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de

corpos sob a ação de forças.

A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo, assim,

os fundamentos para as aplicações da Engenharia.

A Mecânica é subdividida em três grandes ramos: Mecânica dos Corpos Rígidos,

Mecânica dos Corpos Deformáveis e Mecânica dos Fluídos, como indicado abaixo.

Estática

Mecânica dos corpos rígidos Cinemática

Dinâmica

Mecânica Mecânica dos corpos deformáveis Resistência dos Materiais

Fluídos incompressíveis → líquidos

Mecânica dos fluídos

Fluídos compressíveis → gases

Mecânica dos corpos rígidos: é subdividida em Estática, Cinemática e Dinâmica.

A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em equilíbrio,

independentemente do movimento por elas produzido. Na Estática, os corpos analisados

são considerados rígidos, conseqüentemente, os resultados obtidos independem das

propriedades do material.

A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem:

• movimento uniforme – móvel percorrendo espaços iguais em tempos iguais para

quaisquer trechos de trajetória;

• movimento uniformemente variado – a velocidade do móvel varia de valores iguais

em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o movimento será

uniformemente acelerado; se houver decréscimo, o movimento será uniformemente

retardado;

• movimentos de rotação.

A Dinâmica estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz (força).

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Curso Prático & Objetivo

2

Mecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinas nunca são

absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas a que estão submetidas. Estas

deformações são geralmente pequenas e não alteram apreciavelmente as condições de

equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada.

No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura

do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada pela Resistência dos

Materiais, Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos, como também são

conhecidas.

O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da resistência

mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais.

Mecânica dos fluídos: A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudo dos fluidos

incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Uma importante subdivisão do

estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica.

1.2 Conceitos Fundamentais

Os conceitos fundamentais da Mecânica baseiam-se na Mecânica Newtonia:

• espaço: o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto material,

o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto

de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Estes comprimentos são

conhecidos como as coordenadas do ponto;

• tempo: para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no espaço. O

tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser dado;

• força: a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que tende a

produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto de

aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um

vetor;

1.3 Sistema Internacional de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e

unidades derivadas.

As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As unidades

derivadas são, entre outras, força, trabalho, pressão, etc...

As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as

três unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as medições.

A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a

aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F=m.a (segunda Lei de

Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2.

As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados

dinamômetros.

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Curso Prático & Objetivo

3

O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da Equação

P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo de

massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a aceleração da gravidade.

A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida

por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1

metro quadrado de área, perpendicular à direção da força Pa = N /m2 . Pascal é também

unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento).

Múltiplos e submúltiplos

Nome Símbolo fator pelo qual a unidade é multiplicada

exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000

peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000

tera T 1012 = 1 000 000 000 000

giga G 109 = 1 000 000 000

mega M 106 = 1 000 000

quilo k 103 = 1 000

hecto h 102 = 100

deca da 10

deci d 10-1 = 0,1

centi c 10-2 = 0,01

mili m 10-3 = 0,001

micro μ 10-6 = 0,000 001

nano n 10-9 = 0,000 000 001

pico p 10-12 = 0,000 000 000 001

femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001

atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001

Conversão de Unidades

A unidade é equivalente a

1MPa 1 N/mm2

1 MPa 1 x 106 N/m2

1 GPa 1 x 109 N/m2

1 m 100 cm

1 cm 0,01 m

1 kgf 9,81 N

1 kgf 2,20 lb

1 polegada (ou 1") 2,54 cm

1 m2 10000 cm2

Exemplo de conversão de medidas de pressão:

2 2 ×104

= =

cm

N

m

Pa N

10 10

10 10

2 4 2

6

2

6

×

=

×

×

=

×

=

cm

kN

cm

N

m

MPa N

2

2

2 4

9

2

9 10

10

10 10

cm

kN

cm

N

m

GPa N ×

=

×

×

=

×

=

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4

1.4 Trigonometria

Para o estudo da Mecânica necessitam-se dos conceitos fundamentais da

trigonometria.

A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e

determina um ramo da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos

ângulos de um triângulo.

Círculo e Funções Trigonométricas

senα = EF

cosα = OF

tgα = AB

cot gα = DC

secα = OB

cos ecα = OC

OE = R = 1

Triângulo retângulo

No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. A

hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º e é determinada pela relação: a2 = b2 + c2 .

Relações trigonométricas

a

c

hipotenusa

senα = cateto oposto =

a

b

hipotenusa

cosα = cateto adjacente =

b

c

cateto adjacente

tgα = cateto oposto =

b

a

cateto adjacente

secα = hipotenusa =

b

α = arctg c

a

α = arcsen c

a

α = arccos b

C b

a

α

A

B

c

triângulo retângulo

Relação fundamental da trigonometria: sen2 x + cos2 x =1

Razões Trigonométricas Especiais

30º 45º 60º

Seno

2

1

2

2

2

3

Cosseno

2

3

2

2 2

1

Tangente

3

3 1 3

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5

Exemplos

1. Calcule o valor de c da figura

20

sen30º = c

2 20

1 = c

2c = 20 c = 10 m

2. Determine o valor de b da figura

20

cos30º = b

2 20

3 = b

2b = 20 3 b = 10 3 m

b

20 m

30°

c

3. Calcule o valor de a da figura

a2 = 42 + 32

a = 42 + 32 a = 5 m

4. Determine o valor do ângulo α da figura

4

α = arctg 3 α = 36,87º

4 m

α

a

3 m

Triângulo qualquer

Lei dos senos: R

C

c

B

b

A

a 2

sen sen sen

= = =

Lei dos cossenos

a2 = b2 + c2 − 2bc × cos A

b2 = a2 + c2 − 2ac × cosB

c2 = a2 + b2 − 2ab × cosC

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6

1.5 Alfabeto Grego

Os problemas usuais em engenharia são definidos por formulações matemáticas, as

quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. É, pois, necessário, seu conhecimento

para as práticas comuns da Engenharia.

Alfabeto Grego

Símbolo

Nome

Maiúscula Minúscula

Alfa Α α

Beta Β β

Gama Γ γ

Delta Δ δ

Épsilon Ε ε

Zeta Ζ ζ

Eta Η η

Teta Θ θ

Iota Ι ι

Capa Κ κ

Lambda Λ λ

Mi Μ μ

Ni Ν ν

Csi Ξ ξ

Ômicron Ο ο

Pi Π π

Rô Ρ ρ

Sigma Σ σ

Thau Τ τ

Upsilon Υ υ

Phi Φ ϕ

Chi Χ χ

Psi Ψ ψ

Omega Ω ω

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7

2 ESTÁTICA

2.1 Forças no plano

A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu

ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.

A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de

Unidades (SI).

A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo

da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo,

como indicado na Figura 1 abaixo.

F

α

F

α

Figura 2.1

O sentido da força é indicado por uma seta (vetor).

Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto

de um corpo.

Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos

diversos de um mesmo corpo.

2.2 Equilíbrio de um ponto material

Ponto material é uma pequena porção de matéria que pode ser considerada como se

ocupasse um ponto no espaço.

Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula,

este ponto está em equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: “se

a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em

repouso (se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com

velocidade constante (se originalmente estava em movimento)”.

Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto material,

escreve-se:

ΣF = R = 0

onde:

F = força

R = resultante das forças

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8

A representação gráfica de todas as

forças que atuam em um ponto material

pode ser representada por um diagrama de

corpo livre, como indica a figura ao lado.

F3

F2

A

F4 F1

Figura 2.2

Exemplo: verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio

As condições necessárias e suficientes

para o equilíbrio são:

Σ = 0 x F

ΣF = 1500 −1000sen30º−2000sen30º = 0 x

Σ = 1500 − 500 −1000 = 0 x F ok

Σ = 0 y F

Σ = 2000cos30º−1000cos30º−866 = 0 y F

Σ = 1732 − 866 − 866 = 0 y F ok

A F1 = 1500N x

F3 = 1000N F = 866N 2

30°

y

F4 = 2000N

30°

Resposta: O sistema de forças está em equilíbrio

2.3 Resultante de uma força

Constata-se experimentalmente que duas forças P e Q que atuam sobre um ponto

material podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre

esse ponto material. Essa força é chamada de resultante de P e Q. Portanto, a resultante de

um grupo de forças é a força que, atuando sozinha, produz ação idêntica à produzida pelo

grupo ou sistema de forças. A resultante pode ser determinada por soluções gráficas ou

analíticas.

a) Soluções gráficas: quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de mais de

três forças o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um polígono de

forças, como indicado nas figuras abaixo.

Regra do paralelogramo

Q

A P A P

Q

R R

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9

Regra do Triângulo

A

Q

A

R=P+Q

P

Q

P

R=P+Q

Composição de forças

R=F1+F2-F3

F3

R=F1+F2

F1

F1

R=F1+F2+F3

F2

F3

F3

F2 F3

Decomposição de forças F

Fx

y

x

y

F

b) Soluções analíticas: os métodos analíticos utilizam a trigonometria e as equações de

equilíbrio.

Exemplos

Determinar a Resultante das duas forças P e

Q agem sobre o parafuso A.

Q=60 N

25º

A 20º P=40 N

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10

a. Soluções gráficas

35.0°

R=98 N

A 20º

25º

P=40 N

Q=60 N

R=98 N

Q=60 N

A P=40 N

35.0°

Regra do paralelogramo Regra do triângulo

b. Solução analítica: trigonometria

Cálculo da força resultante:

Lei dos cossenos: R2 = P2 + Q2 − 2PQcos B

R2 = 602 + 402 − 2 × 40 × 60 × cos155º

R = 97,7N

Cálculo do ângulo α

Lei dos senos

R

senB

Q

senA =

97,7

155º

60

senA = sen

senA = 0,25 A = 15º

α = A + 20º α = 15º+20º = 35º

A

R

Q=60 N

α

P=40 N

B 155°

C

Sabendo-se que o parafuso está fixo, portanto em equilíbrio, existem forças de

reação que equilibram as forças Q e P. Este princípio é explicado pela terceira lei de

Newton: “A toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade, mesma direção

e sentido contrário”.

Portanto, o parafuso está

reagindo por uma força de

mesma intensidade da resultante

de P e Q, mas em sentido

contrário. A força de reação

pode ser decomposta em duas

forças Fx e Fy, que são suas

projeções sobre os eixos (x e y).

F N x = 97,7 × cos35º = 80

F sen N y = 97,7 × 35º = 56

A

R=97,7 N

35°

Fx=80 N 20º

Fy=56 N

R=97,7 N

P=40 N

25º

Q=60 N

35.0°

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11

Verificação do equilíbrio do ponto A

Para que o ponto A esteja em equilíbrio é necessário que a somatória de todas as forças que

agem no ponto A sejam nulas, ou seja: 0

1

= Σ=

n

i

n F

y

Q=60 N

Fy=56 N

x

25º

Fx=80 N A 20º P=40 N

ΣFx = 0

ΣFx = 60 × cos 45º+40 × cos 20º−80 = 0

0 = 0 ok

ΣFy = 0

ΣF = 60 × sen45º+40 × sen20º−56 = 0 y

0 = 0 ok

Um caso particular da terceira lei de Newton é a lei da gravitação que trata da

atração da Terra sobre um ponto material localizado em sua superfície. A força de atração

exercida pela Terra sobre o ponto material é definida como o seu peso (P). a intensidade do

peso P de um ponto material de massa m é expresso como.

P = m⋅ g

onde g=9,81 m/s2 é a aceleração da gravidade.

2. Determinar as forças

nos cabos.

P = m⋅ g

P = 75 (kg) × 9,81 (m / s2 )

P = 736 N

50° A 30°

75 kg

C

B

736 N

80°

60°

TAC

40°

TAB

solução gráfica: desenho do polígono de forças.

80º

736

60º sen40º sen

T

sen

T AB = AC =

TAB = 647 N e TAC = 480 N

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12

50°

30° A

736 N

TAB

TAC

solução analítica: equações de equilíbrio.

Σ = 0 Fx

⋅ cos30º− ⋅ cos50º = 0 TAC TAB

cos30º

⋅ cos50º

= AB

AC

T T (1)

Σ = 0 Fy

TAB ⋅ sen50º+TAC ⋅ sen30º−736 = 0

Substituindo TAC pela relação (1), tem-se

30º 736

cos30º

50º cos50º ⋅ =

T ⋅ sen + TAB sen

AB

TAB = 647 N e TAC = 480 N

Exercícios

1. Determinar a força F e o ângulo α.

A

TA =2,5 kN TB = 2,5 kN

F

y

α

x

20° 50°

C

20° B 50°

α

F

Respostas: F=2,85 kN e α = 74,7º

2. Determinar as forças nos cabos

x

y

60°

20°

TA

TB

P

m=50 kg

A

60°

20°

B

Respostas: TA = 761,3 N e TB = 381 N

3. Determinar a resultante do

sistema de forças indicado e o seu

ângulo de inclinação em relação ao

eixo x.

70°

F3 = 15 N

F1 = 10 N

50° x

F2 = 20 N

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13

Roteiro:

a. Determinar inicialmente a resultante entre as forças F1 e F2 e seu respectivo ângulo (α12)

em relação ao eixo x. Chamar a resultante de R12;

b. Em seguida, determinar a resultante de todo o sistema, chamando-a de R123 (R123 é a

resultante entre R12 e F3);

c. Finalmente, determinar o ângulo (α123) de R123 em relação ao eixo x.

Respostas: R123 = 32,19 N e α123 = 61,46º

4. Determinar o valor da força F.

a)

y

x

159,65 N

300 N

20°

60°

F

b)

x

F 60°

346,41 N

30°

200 N y

Resp. F = 314,41 N Resp. F = 400 N

c)

F

y

x

45°

45°

141,42 N

141,42 N

d)

y

x

30° F

60°

45°

250 N

120 N

91,9 N

Resp. F = 200 N Resp. F = 255,45 N

e)

329,36 N

100 N

100 N

F

60°

70°

45°

x

y

f)

65°

61 kg

45°

F

450 N

Resp. F = 321,74 N Resp. F=268,95 N

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14

2.4 Momento de uma força

Define-se Momento como a tendência de uma força F fazer girar um corpo rígido

em torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo de F e da distância de F em ao

eixo fixo.

Considere-se uma força F que atua em um

corpo rígido fixo no ponto 0, como indicado na

figura.

A força F é representada por um vetor que

define seu módulo, direção e sentido. O vetor d é a

distância perpendicular de 0 à linha de ação de F.

0

A

d

M0

F

Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0, como sendo

M = F × d 0

onde: M0= momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0

0 = pólo ou centro de momento

d= distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de braço de

alavanca

O momento M0 é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido

de M0 é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F.

Convenciona-se momento positivo

se a força F tender a girar o corpo no

sentido anti-horário e negativo, se tender a

girar o corpo no sentido horário.

M+ MNo

SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m).

Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m).

2.4.1 Momento de um sistema de forças coplanares

Chama-se Momento de um sistema de forças coplanares S={(F1,A1),....,(Fn,An)} em

relação ao ponto 0, à soma algébrica dos Momentos de cada força em relação ao mesmo

ponto 0.

0

A

A

F F

3

1

1 2

A2

b1 b2

b3 F3

Σ=

=

n

i

S Fi

M M

1

,0 ,0

2.4.2 Teorema de Varignon

Seja R a resultante do sistema de forças S. “O

Momento da resultante de um sistema de forças em relação a

um ponto é igual ao momento do sistema ou seja, a soma

algébrica dos Momentos de todas as forças componentes em

relação ao mesmo ponto O”.

Σ=

= =

n

i

R S Fi

M M M

1

,0 ,0 ,0

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Curso Prático & Objetivo

15

2.4.3 Momento de um binário

Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e

sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes das duas forças em

qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um

dado ponto não é zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam,

tendem a fazê-lo girar.

b

-F1

A2

A1 F1

Exemplos

1. Uma força de 450 N é aplicada no ponto A como ilustrado na figura. Determinar:

a) o momento da força em relação a D;

b) a menor força aplicada em D que ocasiona

o mesmo momento em relação a D;

c) o módulo e o sentido da força vertical que,

aplicada em C, produz o mesmo momento em

relação a D;

d) a menor força que, aplicada em C,

ocasiona o mesmo momento em relação a D.

B

30°

A

D

225mm

225mm C

125mm

300mm

450 N

30°

B

197.3mm

225mm

225mm C

52.6°

D

125mm

300mm

37.4°

325

30°

22.6° A

450 N

Solução

a) braço de alavanca 197,3 mm

Momento M=F×b

M=450×197,3= 88785 N.mm ou

M= 88,8 N.m

B

30°

A

225mm

375 mm

225mm C

53.1°

36.9°

125mm

D

300mm

450 N

b) Para se obter a menor força aplicada

em B que ocasiona o mesmo momento

em relação a D, deve-se utilizar o

maior braço de alavanca, ou seja:

b = 2252 + 3002 = 375mm

b

F = M 236,8

0,375

F = 88,8 = N

c)

b

F = M 394,7

0,225

F = 88,8 = N

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16

d) A menor força que, aplicada em C,

ocasiona o mesmo momento em relação a D é

aquela cujo braço de alavanca é o maior

possível, ou seja:

b = 2252 + 2252 = 318,2mm

b

F = M 279

0,3182

F = 88,8 = N

30°

318,2 mm

225mm

225mm C

D

125mm

300mm

B

A

450 N

2. A figura abaixo representa uma junta rebitada, composta por dois rebites de mesmo

diâmetro. Determinar as forças horizontais e verticais atuantes nos rebites.

Como os rebites são iguais, as cargas e as reações verticais em cada rebite também

são iguais: RAV= RBV= 3000÷2= 1500 N.

O rebite A está sendo “puxado” para a direita, portanto, possuirá uma reação

horizontal para a esquerda;

O rebite B está sendo

“empurrado” para a esquerda,

portanto, possuirá uma reação

horizontal para a direita.

Determinação dos esforços

horizontais:

Σ A = 0 M

RBH×200=3000×600 = 9000 N

RAH= RBH=9000 N

B

RBV

RAH A

RAV

RBH

200mm

600mm

3000 N

3. Determinar o Momento em A devido ao

binário de forças ilustrado na figura

MA= F×b

MA= 500×0,12 = 60 N.m

300mm

120mm

F1=500 N

F2=500 N

A

30°

B

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17

4. Substituir o binário da figura por uma

força F vertical aplicada no ponto B.

F1=F2= 500 N

MA= F×b

b

F = M 400

0,15

F = 60 = N

300mm

150mm

MA =60N.m

120mm

A

30°

F=400 N

B

5. Substituir o binário e a força F ilustrados

na figura por uma única força F=400 N,

aplicada no ponto C da alavanca.

Determinar a distância do eixo ao ponto de

aplicação desta força.

MA= (400×0,15) + (200×0,12) = 84 N.m

F

d = M 0,21

400

d = 84 = m = 210 mm

420

cos 60º

AC = 210 = mm

300mm

120mm

MA

200 N

200 N

d=210mm

150mm

A

30°

F=400 N

AC

B

C

5. Determinar a intensidade da força F para que

atue no parafuso o torque (momento) de 40 N.m.

217

cos 23º

a = 200 = mm = 0,217 m

MA= F×b

b

F = M 184,1

0,217

F = 40 = N

6. Um grifo é utilizado para rosquear um tubo de φ 20 mm a uma luva, como mostra a

figura. Determinar a intensidade da força F exercida pelo grifo no tubo, quando a força

aplicada no aperto for 40 N.

Σ A = 0 M

40 × 180 = F × 30

240

30

40 180 =

×

F = N

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18

2.4.4 Equilíbrio de corpos rígidos

Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças externas que atuam

sobre ele formam um sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças

externas podem ser reduzidas a uma força nula e a um binário nulo.

ΣF = 0 0 0ΣM =

As expressões acima definem as equações fundamentais de Estática.

Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas,

encontram-se as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido

no espaço:

x

0

y

z

Σ = 0 x F Σ = 0 y F Σ = 0 z F

Σ = 0 x M Σ = 0 y M Σ = 0 z M

Equilíbrio ou em duas dimensões

As condições de equilíbrio de um corpo rígido simplificam-se consideravelmente

no caso de uma estrutura bidimensional. Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura,

tem-se:

x

0

y

= 0 z F = = 0 x y M M 0 M M z=

para cada uma das forças aplicadas ao corpo rígido, então as seis equações de equilíbrio no

espaço reduzem-se a:

Σ = 0 x F Σ = 0 y F Σ = 0 A M

onde A é um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas três equações podem ser

resolvidas para um máximo de três incógnitas.

O equilíbrio em duas dimensões é também conhecido como equilíbrio no plano.

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Curso Prático & Objetivo

19

2.5 Apoios

Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as

forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo

rígido está apoiado.

Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e

recebem a seguinte classificação:

Apoio móvel

ou

• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao

plano do apoio;

• Permite movimento na direção paralela ao plano do

apoio;

• Permite rotação.

Apoio fixo

• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;

• Impede movimento na direção paralela ao plano do

apoio;

• Permite rotação.

Engastamento

• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;

• Impede movimento na direção paralela ao plano do

apoio;

• Impede rotação.

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20

2.6 Tipos de Estruturas

As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou

vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada.

Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais:

Σ = 0 x F Σ = 0 Fy Σ = 0 A M

2.6.1 Estruturas hipostáticas

Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é

inferior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.

A figura ao lado ilustra um tipo de estrutura

hipostática. As incógnitas são duas: RA e RB. Esta

estrutura não possui restrição a movimentos

horizontais.

L

P

A RB

B

R

A

2.6.2 Estruturas isostáticas

Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é

igual ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.

No exemplo da estrutura da figura, as

incógnitas são três: RA, RB e HA. Esta estrutura está

fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente

pelas equações fundamentais da Estática.

RA

A

HA

L

P

RB

B

2.6.3 Estruturas hiperestáticas

Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é

superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.

Um tipo de estrutura hiperestática es’ta

ilustrado na figura ao lado. As incógnitas são quatro:

RA, RB, HA e MA. As equações fundamentais da

Estática não são suficientes para resolver as equações

de equilíbrio. São necessárias outras condições

relativas ao comportamento da estrutura, como, p.

ex., a sua deformabilidade para determinar todas as

incógnitas. RA RB

HA

A

MA

L

P

B

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21

3 TRELIÇAS

3.1 Definição

Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O

ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados

unicamente nos nós.

Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um

mesmo plano.

Para se calcular uma treliça deve-se:

a) determinar as reações de apoio;

b) determinar as forças nas barras.

A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é:

2n = b + v

onde:

b= número de barras

n= número de nós

v= número de reações de apoio

Adota-se como convenção de sinais:

barras tracionadas: positivo

setas saindo do nó

barras comprimidas: negativo

setas entrando no nó

Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e

analíticos.

Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós,

abaixo exemplificado.

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22

3.2 Método do equilíbrio dos nós

Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio.

No caso da treliça da figura, no

nó A tem-se um apoio móvel e no nó

B, um apoio fixo.

Como os apoios móveis

restringem somente deslocamentos os

perpendiculares ao plano do apoio,

tem-se uma reação vertical RA.

Como os apoios fixos

restringem deslocamentos paralelos e

perpendiculares ao plano do apoio,

tem-se uma reação vertical RB e uma

reação horizontal HE.

C

RA

A F

2 m

B

50 kN 100 kN

D

2 m

RE

E

α

2 m

HE

50 kN

Verificar se a treliça é uma estrutura isostática

barras b = 9

nós n = 6

reações v = 3

2n = b + v Conclusão:

2 × 6 = 9 + 3 a treliça é uma estrutura isostática

Cálculo do ângulo de inclinação das barras 45º

2

= = 2 =

cateto adjacente

α arctg cateto oposto

a) Cálculo das reações de apoio

Equação de equilíbrio das forças na horizontal:

Σ = 0 H F conclusão: HE = 0

Equação de equilíbrio das forças na vertical:

Σ = 0 V F + − 50 −100 − 50 = 0 A E R R + = 200 A E R R kN (1)

Equação de equilíbrio de momentos:

Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer

ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se

Σ = 0 A M 4 × − 50 × 4 −100 × 2 = 0 E R

4

= 400 E R = 100 E R kN

Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se:

+100 = 200 A R kN logo = 100 A R kN

b) Cálculo das forças nas barras

Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças

devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori se as forças nas

barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor

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23

determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta

deve ser mudado.

Nó A

A

RA

N2

N1

Σ = 0 H F → N2 = 0

Σ = 0 V F

100 + N1 = 0 → N1 = −100 kN

Nó B

B

100

45°

N4

50

N3

Σ = 0 FH

N3 + N4 cos 45º = 0 → N3 = −50 kN

Σ = 0 FV

100 − 50 − N4sen45º = 0→ N4 = 70,7 kN

Nó C

50 N5

100

N6

C

Σ = 0 H F

50 + N5 = 0 → N5 = −50 kN

Σ = 0 V F

100 + N6 = 0 → N6 = −100 kN

Nó D

45°

50

50

N7 N8

D

Σ = 0 H F

50 − N7 cos 45º = 0 → N7 = 70,7 kN

Σ = 0 V F

50 + N8 + 70,7sen45º = 0→N8 = −100 kN

Nó E

100

100

E

N9

Σ = 0 H F → N9 = 0

Nó F Verificação

45° 45°

100

70,7 70,7

0,0 0,0

F

Σ = 0 H F

− 70,7cos45º+70,7cos45º = 0 → 0 = 0 ok

Σ = 0 V F

−100 + 70,7sen45º+70,7sen45º = 0→0 = 0 ok

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24

Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças

que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente. Portanto, não há

necessidade de se calcular as forças nos nós D e E.

Resultados

NAB= -100 kN compressão

NAF= 0

NBC= -50 kN compressão

NBF= +70,7 kN tração

NCF= -100 kN compressão

NCD= -50 kN compressão

NDF= +70,7 kN tração

NDE= -100 kN compressão

NFE= 0 kN

C

RA

A F

2 m

B

50 kN 100 kN

D

2 m

RE

E

α

2 m

HE

50 kN

2. Calcular as forças em cada barra da treliça “mão francesa” da figura.

1.0 m

C

2.0 m

40 kN

HA A

1.0 m

E

2.0 m

α

D

20 kN

θ

RB

HB B

Cálculo dos ângulos de inclinação das barras

63,43º

1

α = arctg = 2 = 26,56º

2

θ = arctg = 1 =

a) Cálculo das reações de apoio

Σ = 0 H F + = 40 A B H H kN

Σ = 0 V F + 20 = 0 B R = −20 B R kN

Σ = 0 B M + × 2 − 40 × 2 − 40 ×1 = 0 A H = 60 A H kN = −20 B H kN

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25

b) Cálculo das forças nas barras

Nó B

N2

N1

63.4°

20 kN

20 kN

B

Σ = 0 FH

− 2 + N2senα = 0 → N2 = 22,4 kN

Σ = 0 V F

20 + N1− N2 cosα = 0→ N1 = 10 kN

Nó A

60

N3

100

26.6°

A

N4

10

Σ = 0 H F

6 + N4 + N3senθ = 0

6 + N4 − 22,4senθ = 0→ N4 = 40 kN

Σ = 0 V F

10 + N3cosθ = 0 → N3 = −22,4 kN

Nó E

40 N6

E

N5

Σ = 0 H F → N6 = 40 kN

Σ = 0 V F → N5 = 0 kN

Nó D

26.6°

N7

40

D

20

Σ = 0 V F

− 20 + N7senθ = 0 → N7 = 44,7 kN

Σ = 0 H F

− 40 + 44,7cos senθ = 0→ 0 = 0 ok

Nó C

22,4 0,0 44,7

22,4

26.6° C 40

Σ = 0 H F

22,4cosθ − 22,4cosθ − 40 + 44,7cosθ = 0=0 kN

Σ = 0 V F

22,4senθ − 22,4senθ − 44,7senθ = 0

→ 10+10-20 =0 ok

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26

Resultados

NAB= +10 kN tração

NAC= -22,4 kN compressão

NBC= +40 kN tração

NBC= +22,4 kN tração

NCE= 0

NCD= +44,7 kN tração

NED= +40 kN tração

1.0 m

C

2.0 m

40 kN

HA A

1.0 m

E

2.0 m

α

D

20 kN

θ

RB

HB B

Exercícios

1. Determine a força em cada barras das treliças ilustradas. Indique se cada barra está

tracionada ou comprimida.

1.

FAB = 8 kN C

FAC = 10 kN T

FBC = 8,545 kN T

C

1.2m

A

9000 N

2.4m

0.9m

B

A

400mm

B C

500mm

375mm

1200 N

2.

FAB = 3 900 N T

FAC = 4 500 N C

FBC = 3600 N C

3.

FAB = FDE = FBG = FDI = 0;

FAF = FCH = FEJ = 400 N C;

FBC = FCD = 800 N C;

FBF = FDJ = 849 N C;

FBH = FDH = 283 N T;

FFH = FGH = FHI = FIJ = 600 N T

a a a

a

B C D E

G H I J

400 N 400 N 400 N 400 N

F

a

A

400 N

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27

2,7m

9000 N

F

3,6m

E

2,7m

C D

9000 N A B

4.

FAB = 9 kN;

FAC = 0;

FBC = 11,25 kN C

FBD = 6,75 kN T;

FCD = 18 kN T

FCE = 6,75 kN C;

FDE = 22,50 kN C

FDF = 20,25 kN T

5.

FAB = FDE = 8 kN C

FAF = FFG = FHE = 6,93 kN T

FBC = FCD = FBG = FDE = 4 kN C

FBF = FDH = FCG = 4 kN T

a a a a

30° 30° 30° 30°

G

C

F H

4 kN 4 kN

A E

B D

D E F

3,6 m 3,6 m

100 kN

A

1,5 m

1,5 m

1,5 m

B

C 6.

FAB = 130 kN T

FAD = 100 kN T

FAE = 130 kN C

FBC = 173,5 kN T

FBE = 50 kN T

FBF = 52,05 kN C

FCF = 33,35 kN T

FDE = 0

FEF= 1120 kN C

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28

4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES

4.1 Introdução

Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo elementar,

considerando-se o alongamento de uma barra prismática (barra de eixo reto e de seção

constante em todo o comprimento).

Considere-se uma barra prismática carregada nas extremidades por forças axiais P

(forças que atuam no eixo da barra), que produzem alongamento uniforme ou tração na

barra. Sob ação dessas forças originam-se esforços internos no interior da barra. Para o

estudo desses esforços internos, considere-se um corte imaginário na seção mm, normal a

seu eixo. Removendo-se por exemplo a parte direita do corpo, os esforços internos na

seção considerada (m-m) transformam-se em esforços externos. Supõe-se que estes

esforços estejam distribuídos uniformemente sobre toda a seção transversal.

m

m

σ

L

P

δ

P

P

Figura 4.1.

Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à

resultante, também axial, de intensidade P.

Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente sobre toda a

seção transversal, recebem o nome de tensão normal, sendo comumente designada pela

letra grega σ (sigma).

Pode-se ver facilmente que a tensão normal, em qualquer parte da seção transversal

é obtida dividindo-se o valor da força P pela área da seção transversal, ou seja,

A

σ = P (1)

A tensão tem a mesma unidade de pressão, que, no Sistema Internacional de

Unidades é o Pascal (Pa) corresponde à carga de 1N atuando sobre uma superfície de 1m2,

ou seja, Pa = N/m2. Como a unidade Pascal é muito pequena, costuma-se utilizar com

freqüência seus múltiplos: MPa = N/mm2 = (Pa×106), GPa = kN/mm2 = (Pa×109), etc. Em

outros Sistemas de Unidades, a tensão ainda pode-se ser expressa em quilograma força por

centímetro quadrado (kgf/cm2), libra por polegada quadrada (lb/in2 ou psi), etc.

Quando a barra é alongada pela força P, como indica a Figura 4.1, a tensão

resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a

barra, tem-se tensão de compressão.

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Curso Prático & Objetivo

29

A condição necessária para validar a Equação (1) é que a tensão σ seja uniforme

em toda a seção transversal da barra.

O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela

letra grega δ (delta). O alongamento por unidade de comprimento, denominado

deformação específica, representado pela letra grega ε (epsilon), é dado pela seguinte

equação:

L

δ

ε = (2)

onde:

ε = deformação específica

δ = alongamento ou encurtamento

L = comprimento total da barra.

Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional. É de uso corrente no

meio técnico representar a deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se o

valor da deformação específica por 102 ou mesmo até (‰) multiplicando-se por 103.

4.2 Diagrama tensão-deformação

As relações entre tensões e deformações para um determinado material são

encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ,

correspondentes aos acréscimos de carga axial P, que se aplicarem à barra, até a ruptura do

corpo-de-prova.

Obtêm-se as tensões dividindo as forças pela área da seção transversal da barra e as

deformações específicas dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a

deformação é medida. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do material

em estudo. Na Figura 4.2 ilustra-se um diagrama tensão-deformação típico do aço.

região

elástica região plástica

C

0 ε

L

p

P

r

σ

σp A

e

σ σ

escoamento

B

ε

δ

P

r ε

D E

Tensão

A

σ = P

Deformação

L

δ

ε =

σr = tensão de ruptura

σe = tensão de escoamento

σp = tensão limite de

proporcionalidade

Figura 4.2. Diagrama tensão-deformação do aço

Região elástica: de 0 até A as tensões são diretamente proporcionais às

deformações; o material obedece a Lei de Hooke e o diagrama é linear. 0 ponto A é

chamado limite de proporcionalidade, pois, a partir desse ponto deixa de existir a

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Curso Prático & Objetivo

30

proporcionalidade. Daí em diante inicia-se uma curva que se afasta da reta 0A, até que em

B começa o chamado escoamento.

O escoamento caracteriza-se por um aumento considerável da deformação com

pequeno aumento da força de tração. No ponto B inicia-se a região plástica.

O ponto C é o final do escoamento o material começa a oferecer resistência

adicional ao aumento de carga, atingindo o valor máximo ou tensão máxima no ponto D,

denominado limite máximo de resistência. Além deste ponto, maiores deformações são

acompanhadas por reduções da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova

no ponto E do diagrama.

A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande

deformação plástica é uma característica do aço, que é o mais comum dos metais

estruturais em uso atualmente. Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer

grandes deformações antes da ruptura. Materiais que apresentam grandes deformações,

antes da ruptura, são classificados de materiais dúcteis. Outros materiais como o cobre,

bronze, latão, níquel, etc, também possuem comportamento dúctil. Por outro lado, os

materiais frágeis ou quebradiços são aqueles que se deformam relativamente pouco antes

de romper-se, como por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cerâmica,

gesso, entre outros.

4.3 Tensão admissível

Para certificar-se de que a estrutura projetada não corra risco de ruína, levando em

conta algumas sobrecargas extras, bem como certas imprecisões na construção e possíveis

desconhecimentos de algumas variáveis na análise da estrutura, normalmente emprega-se

um coeficiente de segurança ( γ

f), majorando-se a carga calculada. Outra forma de

aplicação do coeficiente de segurança é utilizar uma tensão admissível (σ ou adm σ ),

reduzindo a tensão calculada (σcalc), dividindo-a por um coeficiente de segurança. A tensão

admissível é normalmente mantida abaixo do limite de proporcionalidade, ou seja, na

região de deformação elástica do material. Assim,

f

calc

adm γ

σ

σ =σ = (3)

4.4 Lei de Hooke

Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento de vários materiais,

quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto

é, quando a carga é gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o

carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela

qual ele tende a retornar à forma original é denominada elasticidade. Quando a barra volta

completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se o

retorno não for total, o material é parcialmente elástico. Neste último caso, a deformação

que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação permanente.

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31

A relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE

em 1678 e é conhecida por LEI DE HOOKE, definida como:

σ = Eε (4)

onde

σ = tensão normal

E = módulo de elasticidade do material

ε = deformação específica

O Módulo de Elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do

diagrama tensão-deformação e é diferente para cada material.

A lei de HOOKE é valida para a fase elástica dos materiais. Por este motivo,

quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a superposição

de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o material e depois

somá-los.

Alguns valores de E são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos materiais,

o valor do Módulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais.

Tabela 4.1 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais

Material Peso específico

(kN/m3)

Módulo de Elasticidade

(GPa)

Aço 78,5 200 a 210

Alumínio 26,9 70 a 80

Bronze 83,2 98

Cobre 88,8 120

Ferro fundido 77,7 100

Madeira 0,6 a 1,2 8 a 12

Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão axial é σ = P / A e a

deformação específica é ε = δ / L . Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE,

tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra:

EA

δ = PL (5)

Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é

diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao

módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como

rigidez axial da barra.

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32

4.4.1 Coeficiente de Poisson

Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma

contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu

comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. A Figura 3 ilustra

essas deformações.

P

P

P

P

Figura 4.3. Deformações longitudinal e lateral nas barras

A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da

região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v); definido como:

deformação longitudinal

υ = deformação lateral (6)

Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D.

Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em

todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν ≈ 0,25. Experiências com

metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35.

Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a

direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o

material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material

anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas

fibras a madeira é mais resistente.

4.4.2 Forma geral da Lei de Hooke

Considerou-se anteriormente o caso particular da Lei de HOOKE, aplicável a

exemplos simples de solicitação axial.

Se forem consideradas as deformações longitudinal (εL) e transversal ( ε

t), tem-se,

respectivamente:

L E

σ

ε = e

t L E

υσ

ε =νε = (7)

No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões

normais σ

x, σ

y e σ

z, perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às

deformações ε

x, ε

y e ε

z, a Lei de HOOKE se escreve:

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33

[ ( )] x E x y z

ε = 1 σ −υ σ +σ .

[ ( )] y E y z x

ε = 1 σ −υ σ +σ (8)

[ ( )] z E z x y

ε = 1 σ −υ σ +σ .

A lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que

possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν) em todos os pontos.

Exemplos

1. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de

comprimento L=5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5cm e Módulo de

Elasticidade E=20.000 kN/cm2 , submetida a uma força axial de tração P=30 kN.

L= 5 m

P P=30 kN

4

πφ 2

A = 19,6

4

52

=

×

=

π A cm2

A

σ = P 1,53

19,6

σ = 30 = kN/cm2 ou 15,3 MPa

EA

δ = PL 0,0382

20.000 19,6

30 500 =

×

×

δ = cm

L

δ

ε = 0,0000764

500

ε = 0,0382 = ou × 1000 = 0,0764 (‰)

2. A barra da figura é constituída de 3 trechos: trecho AB=300 cm e seção transversal com

área A=10cm2; trecho BC=200cm e seção transversal com área A=15cm2 e trecho

CD=200cm e seção transversal com área A=18cm2 é solicitada pelo sistema de forças

indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o

alongamento total. Dado E=21.000 kN/cm2.

300 cm

30kN

A

150kN

200 cm 200 cm

B C

50kN

D

170kN

σy

x σ

σz

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34

Trecho A-B

300 cm

150kN

A

170kN

50kN

30kN

B

R=150kN

A

σ = P 15

10

σ = 150 = kN/cm2

EA

δ = PL 0,214

21.000 10

150 300 =

×

×

δ = cm

L

δ

ε = 1000 0,713

300

ε = 0,214 × = (‰)

Trecho B-C

R=120kN 30kN

150kN

200 cm

B C

50kN

170kN

R=120kN

A

σ = P 8

15

σ = 120 = kN/cm2

EA

δ = PL 0,076

21.000 15

120 200 =

×

×

δ = cm

L

δ

ε = 1000 0,38

200

ε = 0,076 × = (‰)

Trecho C-D

R=170kN 30kN

150kN

200 cm

50kN

C D 170kN

A

σ = P 9,44

18

σ = 170 = kN/cm2

EA

δ = PL 0,0899

21.000 18

170 200 =

×

×

δ = cm

L

δ

ε = 1000 0,45

200

ε = 0,0899 × = (‰)

Alongamento total

δ = 0,214 + 0,076 + 0,0899 = 0,38 cm

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35

4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas

Nos exemplos anteriores, as forças que atuavam nas barras da estrutura podiam ser

calculadas pelas equações da Estática. Tais estruturas são denominadas estaticamente

determinadas. Há casos, porém, em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática

não são suficientes para a determinação de todas as ações e reações de uma estrutura. Para

essas estruturas, denominadas, estruturas estaticamente indeterminadas, as forças e a

reações só poderão ser calculadas se as deformações forem levadas em conta.

Um exemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada é ilustrado na Figura

4.4.

Ra

A A

Ra

(c)

A

B

Rb

B

C

P

(a) (b)

B

L

b

a

C

P

Figura 4.4 Barra estaticamente indeterminada

A barra está carregada por uma força P no ponto C e as extremidades AB da barra

estão presas em suportes rígidos. As reações Ra e Rb aparecem nas extremidades da barra,

porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pelas equações da Estática. A

única equação fornecida pelo equilíbrio estático é

R R P a b + = (9)

a qual contém ambas as reações desconhecidas (2 incógnitas), sendo, portanto, insuficiente

para seu cálculo com uma única equação. Há necessidade, portanto, de uma segunda

equação, que considere as deformações da barra.

Para a consideração da deformação na barra, deve-se analisar o efeito de cada força

sobre a barra se uma de suas extremidades estivesse livre. Considere-se, então, o efeito da

carga P deslocando o ponto A, na estrutura livre, ilustrado na Figura 4.4b. O deslocamento

(para baixo) do ponto A, devido ao encurtamento do trecho CD, submetido à carga P, é

dado por:

EA

Pb

P δ =

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36

Em seguida, analisa-se o efeito da reação Ra deslocando do ponto A, ilustrado na

Figura 4.4c. Note-se que se está analisando o efeito da reação Ra com a extremidade A da

barra livre. O deslocamento (para cima) é dado por:

EA

R L a

R δ =

Ora, como a extremidade A da barra é fixa, o deslocamento final (δ), neste ponto,

resultante da ação simultânea das forças P e Ra, é nulo. Logo,

− = 0 R P δ δ → P R δ =δ ,

ou seja,

EA

R L

EA

Pb = a .

Logo,

L

R Pb a = . Substituindo o Ra na equação (9), tem-se: R P

L

Pa

b + =

L

R P Pa b = −

L

R PL Pb b

=

L

R P L b b

( − )

=

L

R Pa b =

Exemplos

1. Uma barra constituída de dois trechos é

rigidamente presa nas extremidades. Determinar as

reações R1 e R2 quando se aplica uma força P.

Dados: E=21.000 kN/cm2; AAB=5cm2; ABC=7,5cm2;

P= 60 kN

Solução

Equação de equilíbrio

R + R = P 1 2 (1)

Equação de compatibilidade das deformações:

AB BC δ =δ (2)

Nota: As cargas P/2 provocarão um alongamento no trecho AB, e um encurtamento no

trecho BC, de valores exatamente iguais.

lembrando que

EA

δ = PL , tem-se

7,5

1,5

5

2 1 2

×

×

=

×

×

E

R

E

R

1 2 0,4R = 0,2R

0,4

0,2 2

1

R = R 1 2 R = 0,5R substituindo em (1)

60 1 2 R + R = → 0,5 60 2 2 R + R = → 1,5 60 2 R = → 40 2 R = kN

mas, 40 60 1 R + = logo 20 1 R = kN.

2 cm

1,5 cm

P/2 P/2

A

B

C

R2

R1

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37

2. É dado um cilindro de aço de 5cm de diâmetro no interior de um tudo de cobre de 8cm

de diâmetro externo, com dimensões indicadas na Figura. Aplicando-se uma força de

P=400 kN, qual a parcela de carga no cilindro de aço e qual a parcela de carga no cilindro

de cobre? Dados: Eaço=21.000 kN/cm2; Ecobre=12.000 kN/cm2

19,63

4

52

=

×

=

π

aço A cm2 cobre cobre total aço A = A − A ,

30,63

4

5

4

82 2

=

×

×

=

π π

cobre A cm2

+ = 400 cobre aço P P kN (1)

= + 0,25 aço cobre δ δ (2)

lembrando que

EA

δ = PL , tem-se

0,25

12.000 30,63

300

21.000 19,63

300,25

+

×

×

=

×

× Paço Pcobre

0,000728 = 0,000817 + 0,25 aço cobre P P

300 cm

5 cm

8 cm

cilindro

de cobre

P=400 kN

cilindro

de aço

0,25 cm

posição final

placa rígida

0,000728

0,000817 + 0,25

= cobre

aço

P P substituindo em (1), tem-se,

400

0,000728

0,000817 0,25 =

+

+ cobre

cobre

P P kN 400

0,000728

0,25

0,000728

+ 0,000817 cobre + =

cobre

P P kN

1,1223 + + 343,4066 = 400 cobre cobre P P = 26,66 cobre P kN substituindo em (1), tem-se:

= 400 − 26,66 = 373,34 aço P kN

Exercícios

1. Em uma máquina usa-se uma barra prismática de 10m de comprimento, comprimida por

uma força de 500 kN. Sabendo-se que a tensão não deve exceder a 140 kN/cm2 e o

encurtamento não deve exceder a 3mm, pede-se determinar o diâmetro da barra.

E=21.000 kN/cm2. Resposta: φ=10cm

2. Uma barra prismática está submetida à tração axial. A área da seção transversal é 2cm2 e

o seu comprimento é 5m. Sabendo-se que a barra sofre o alongamento δ=0,714285cm

quando é submetida à força de tração 60kN, pede-se determinar o módulo de elasticidade

do material. Resposta: E=21.000 kN/cm2.

3. Uma barra cilíndrica de 38mm de diâmetro e 20cm de comprimento sofre a ação de uma

força de compressão de 200kN. Sabendo-se que o módulo de elasticidade da barra é

E=9.000 kN/cm2 e o coeficiente de Poisson, υ=0,3, determinar o aumento de diâmetro da

barra. Resposta: δt=0,00223cm.

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38

4. A barra rígida AB é articulada em A,

suspensa em B por um fio e apóia-se em C

em um suporte de ferro. São dados:

comprimento do fio: 1,7m; área da seção

transversal do fio: 5cm2; módulo de

elasticidade do fio E=21.000 kN/cm2;

comprimento do suporte: 2m; área do

suporte: 15cm2; módulo de elasticidade do

suporte E=10.000 kN/cm2. Determinar as

forças no fio, no suporte e na articulação.

Respostas:

Força no fio: 50kN

Força no suporte: 25kN

Força na articulação: 25kN

B

2.0 m 1.70m

2.0 m 1.0 m 2.0 m

P=100 kN

A C B

Pf

PA PC

A C

P=100 kN

4.6 Tensões iniciais e Tensões Térmicas

Quando uma estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da

temperatura em todo seu comprimento não acarreta nenhuma tensão, pois a estrutura é

capaz de se expandir ou se contrair livremente. Por outro lado, a variação de temperatura

em estruturas fixas, estaticamente indeterminadas, produz tensões em seus elementos,

denominadas tensões térmicas. Esta conclusão pode ser observada pela comparação entre

uma barra livre em uma das extremidades, com outra barra engastada nas duas

extremidades, como mostrado na Figura 4.5.

R

(c)

R

Δ

B

A

(a)

R

B

L

A

(b)

B

T

A

ΔT

Figura 4.5. Barra fixa nas extremidades, submetida a aumento de temperatura

Na barra da Figura 4.5b, a variação uniforme de temperatura sobre toda a barra

causará o alongamento:

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39

δ =αLΔT (10)

onde: α = coeficiente de dilatação térmica

L = comprimento

ΔT = variação de temperatura (ºC)

Como este alongamento pode ocorrer livremente, não surgirá nenhuma tensão na barra.

Na Tabela 4.2 estão indicados coeficientes de dilatação térmica de alguns materiais.

Tabela 4.2 Valores Típicos do coeficiente de dilatação térmica

Material Coeficiente de dilatação térmica α (10-6 ºC-1)

Aço 11,7

Alumínio 21,4 a 23,9

Magnésio 26,1

Cobre 16,7

Concreto 7,2 a 12,6

No caso de barras estaticamente indeterminadas, como a que aparece na Figura 4.5,

quando há aumento de temperatura, a barra não pode alongar-se, surgindo, como

conseqüência, uma força de compressão que pode ser calculada pelo método descrito no

item precedente. Para a barra engastada da Figura 4.5a, vê-se que, se a extremidade A for

liberada, seu deslocamento para cima, devido ao acréscimo de temperatura, será o mesmo

deslocamento para baixo, decorrente da ação da força R, ou seja, RL/EA. Igualando esses

dois deslocamentos vêm:

R = EAαΔT (11)

Depois de se obter R, pode-se calcular a tensão e a deformação específica da barra

pelas expressões:

E T

A

σ = R = αΔ e T

E

= =αΔ

σ

ε

Deste exemplo, conclui-se que a variação de temperatura produz tensões em

sistemas estaticamente indeterminados, ainda que não se tenha a ação de forças externas.

Exemplo

Uma barra prismática, rigidamente presa

nas extremidades é submetida a um

aumento de temperatura de 20ºC, ao

mesmo tempo em que recebe uma carga

P=30 kN. Determinar as reações de apoio.

Dados: A= 1,5 cm2; E=20.000 kN/cm2;

α=11,7×10-6 ºC-1; ΔT= +20ºC

Solução:

a) determinação das reações R´A e R´B, devido ao aumento de temperatura R = EAαΔT

A C B

P=30 kN

100 cm 250 cm

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40

A B

R'A =7,02 R'B =7,02 kN

R = 20.000×1,5×11,7×10−6 ×20 = 7,02 kN → R = R′A = RB′

b) ao se aplicar a carga P= 30 kN no ponto C, o trecho AC sofrerá um alongamento

exatamente igual ao encurtamento no trecho CB, portanto, AC BC δ =δ . Assim,

EA

R

EA

R A 100 B′′ × 250

=

′′ ×

→ R′A′ = 2,5RB′′

fazendo o equilíbrio de forças, tem-se:

RB RA P ′′ + ′′ = mas R′A′ = 2,5RB′′ , logo,

2,5 ′′ + ′′ = 30 B B R R → 30 5 , 3 = ′′BR

57 , 8 = ′′BR kN →Portanto, ′′ = 21,43 A R kN

R''B =21,43 R''B =8,57 kN

A P=30 kN B

Como se trata de uma estrutura trabalhando no regime elástico, vale a superposição de

efeitos, ou seja, os efeitos da temperatura na barra e da carga P:

A A A R = −R′ + R′′ = −7,02 + 21,43 =14,41 A R kN

B B B R = R′ + R′′ = 7,02 + 8,57 =15,59 B R kN

Exercício

1. A um tubo de aço se aplica uma carga axial de 200 kN

por meio de uma placa rígida. A área da seção transversal

do cilindro de aço é 20cm2. Determinar o acréscimo de

temperatura ΔT para o qual a carga externa seja

equilibrada pelos esforços que aparecem nos cilindros de

aço e cobre. Dados:

Eaço=21.000 kN/cm2; αaço=11,7×10-6 ºC-1

Resposta: ΔT = 40,7ºC.

50cm

tubo de

aço

P=200 kN

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41

4.7 Tensão de cisalhamento

Denomina-se força cortante (V), a componente de uma força, contida no plano da

seção transversal considerada, como ilustrado na Figura 4.6. A força cortante é uma força

que atua no próprio plano da seção transversal. A outra componente é a força normal.

resultante

força normal

barra engastada

L

P

força

tangencialV R

Figura 4.6

A força cortante dá lugar, em cada um dos pontos da seção, ao aparecimento de

uma tensão tangencial, denominada tensão de cisalhamento, designada pela letra grega τ.

Admitindo-se distribuição uniforme da tensão de cisalhamento na seção transversal de área

A, tem-se, em cada ponto da seção:

A

τ = V (12)

A tensão de cisalhamento, como a tensão normal, tem também a mesma unidade de

pressão a qual, no Sistema Internacional é o pascal (Pa).

Exemplo

Considere-se o parafuso de 12,5 mm de diâmetro, da junta da Figura abaixo. A força P é

igual a 15 kN. Admitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual o valor

dessas tensões, em qualquer uma das seções transversais m—n ou p—q?

P m n

A

p q

B

P

C mp

n

m

q p

V

B

V

n

q

Solução

Supõe-se que a força P solicite igualmente as duas seções transversais. Nessas condições, a

força que atua em cada plano é: 15/2=7,50 kN, sobre a seção de área π×1,252/4 = 1,23 cm2.

Portanto,

A

τ = V 6,1

1,23

τ = 7,5 = kN/cm2

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42

Exercícios

1. Emprega-se um rebite para ligar duas barras

de aço, como se indica na figura, Se o diâmetro

do rebite é 19mm e a carga P = 30 kN, qual a

tensão de cisalhamento no rebite?

Resposta:τ= 10,6 kN/cm2.

P

φ19mm

P=30 kN

2. A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos

fixos quando a temperatura é de +25ºC. Determinar

as tensões atuantes nas partes AC e CB da barra para

a temperatura de –50ºC.

Dados: E=200GPa e α=12×10-6/ºC.

Respostas: σAC = 240 MPa; σCB = 120 MPa

3. Determine a deformação da barra de aço

sob a ação das cargas indicadas.

Dado: E=210 GPa

Resposta: δ=2,75×10-3m = 2,75mm

4. A barra (1) da figura é de aço, possui A1=400mm2 de área de seção transversal e seu

comprimento é L1= 800mm. Determinar para a barra (1):

a) carga axial atuante (F1)

b) tensão normal atuante (σ1)

c) o alongamento (ΔL1)

d) a deformação longitudinal (ε1)

e) a deformação transversal (εt1)

Dados: Eaço=210 GPa; υ=0,3

Respostas:

a) F1=6,125 kN; b) σ1=15,3MPa

c) ΔL1=58×10-6m; d) ε1=0,0000725;

e) εt1=-0,000022

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43

5. A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes

AB e CD. A haste AB é de alumínio (Eal=

...

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