GAUSS

A diferença entre os 2 métodos é que, no de Gauss-Jacobi, utiliza-se todos os valores da iteração anterior para calcular o valor da variável da diagonal, e no de Gauss-Seidel, utiliza-se também os valores já calculados na mesma iteração o que permite uma convergência maisrápida.

A primeira coisa a fazer é explicitar a variável da diagonal em cada equação:

x(1)=[-5-2.x(2)-2.x(3)]/5

x(2)=[x(1)-3.x(3)]/4

x(3)=[13+x(1)-2.x(2)]/6

Agora é entrar com valores iniciais para as variáveis, que podem ser quaisquer. Quanto melhor a aproximação do valor final, menos iterações.

1 - Gauss-Jacobi:

Calcula-se o valor da variável em cada iteração utilizando-se o valor das outras variáveis da iteração anterior, até que, em uma itração k para todas as variáveis:

..k....k-1

| x(i)-x(i) | <= 0,001

Considerando para valores iniciais

.o......o......o

x(1)=x(2)=x(3)=0, para a primeira iteração fica:

.1

x(1)=[-5-2.0-2.0]/5=-1

.1

x(2)=[0-3.0]/4=0

.1

x(3)=[13+0-2.0]/6=2,1667

E com esses valores, calculamos os valores da 2a iteração, e assim por diante.

.

Assim temos:

k........x(1).......x(2).......x(3)

0..........0...........0..........0

1.........-1...........0.......2,1667

2....-1,3333...-1,8750......2

3.....0,55.......-1,5333..2,7690

:........:.............:...........:

:........:.............:...........:

12....0,9999........-2.....2,9999

Encontramos os valores x(1)=0,9999=~1, x(2)=-2 e x(3)=2,9999=~3 com 12 iterações

2 - Gauss-Seidel

Mesmo procedimento só que, em cada iteração, utiliza-se os valores das variáveis que já foram calculados nesta iteração. A convergência, portanto, é mais rápida.

Considerando para valores iniciais

.o......o......o

x(1)=x(2)=x(3)=0, para a primeira iteração fica:

.1

x(1)=[-5-2.0-2.0]/5=-1

.1

x(2)=[-1-3.0]/4=-0,25

.1

x(3)=[13+(-1)-2.(-0,25)]/6=2,0833

E