Gestao Ambiental

Universidade Anhanguera - UNIDERP

Polo de Campo Grande (Unidade matriz) / MS

Engenharia Civil

Cálculo 2

Turma:

Atividade Prática Supervisionada (ATPS) Cálculo 2

Professor:

Campo Grande / MS

25/03/2014

SUMÁRIO

ETAPA 1 – Conceito de Derivada e Regras de Derivação

.Passo 1 – Resolver o exercício de velocidade instantânea.

.Passo 2 – Os cálculos e plotenum gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s). .Passo 3 – Pesquisa sobre “Aceleração instantânea”. .Passo 4 - gráfico sua função a (m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5

ETAPA 2 – Conceito de Derivada e Regras de Derivação

.Passo 1 – Constante de Euler.

.Passo 2 - Pesquisar sobre “ séries harmônicas.

.Passo 3 – Crescimento Populacional

Etapa 1 – Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Passo 1- Resolver o exercício de velocidade instantânea.

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com ∆t→ 0.

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Velocidade instantânea: ao trafegar em uma estrada você pode observar no velocímetro do carro que a velocidade indicada varia no decorrer do tempo. Esta velocidade que você lê no velocímetro em um determinado instante é denominada velocidade instantânea. Para determinar esta velocidade tem-se que calcular o limite de ( S/ t), para t tendendo a zero; Já observamos que o conceito de velocidade média está associado a dois instantes de tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o módulo dessa velocidade média.Por outro lado, concluímos que o módulo da velocidade média entre esses instantes de tempo pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao gráfico da posição em função do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2 .

Exemplo: Função x = 4.x t²+ + t3 + 7t – 8

Velocidade no tempo 3s

V=d.x 8.x+3c+7

d.t

V=8.3+3.3²+7

V= 58 m/s

Aceleração no tempo 2s

V=d.x 8.x+3t²+7

d.t

a=d.v 8+6.t

d.t

a= 8+6.t

a=8+6 .2

a=20 m/s²

Passo 2 – Os cálculos e plotenum gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s)

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado. Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

Gráfico s(m) x t(s) x = 4.x t²+ + t3 + 7t – 8

Gráfico v(m) x t(s) v = 8x+3t²+7

Passo 3 – Pesquisa sobre “Aceleração instantânea”.

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade. Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de

derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

A aceleração instantânea de um corpo, denominada por "a", é a taxa com que sua velocidade varia em um determinado espaço de tempo. Tudo o que ocorre no gráfico X versus T ( gráfico de velocidade instantânea) é válido pro gráfico V versus T ( gráfico de aceleração instantânea). No gráfico X versus T a velocidade instantânea do corpo em um ponto P qualquer é a declividade da reta tangente àquele ponto. Por analogia podemos dizer que a aceleração instantânea de um corpo, em um ponto P qualquer, é a declividade da reta tangente àquele ponto.

V(t) =dx/dt

a(t) =dv/█(dt@)=d²x/dt²

Passo 4- Plotar num gráfico

Plotar num gráfico sua função a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer que tipo de função você tem.

Gráfico aceleração a(m/s²) x t(s) a=8+6t

ETAPA 2 – Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Passo 1 – Constante de Euler

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo de Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subsequentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32º casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.). Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos. Em 1736, quando publicou o seu livro Mechanica, onde a dinâmica de Newton (1642-1727) foi apresentada de forma analítica, foi impresso pela primeira vez o número ℮. A partir deste momento, a notação do número foi facilmente aceita e adotada nos cálculos matemáticos, bem como a padronização da denominação de exponencial. A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural que pode ser condensada assim: em que E(x) é a parte inteira de x. Resumidamente a constante de Euler nos mostra o valor do limite quando n tende para o infinito.

Achando as constantes

N= 1

n=1/h e=█(lim⁡@h→1 )⁡〖(1+h) 1/h〗

1=1/h e=lim⁡█(@h→1) (1+h)1/h

h=1 e=lim⁡█(@h→1) 〖(1+1) 1/1〗^

e=lim⁡█(〖^〗(2)^1@h→1 )

e=lim┴⁡█(@█( @h→1 ))2

N=5

n=1/h e=█(lim⁡@h→1/5 )⁡〖(1+h) 1/h〗

5=1/h e=lim⁡█(@h→1/5) (1+h)1/(1/5)

h=1/5 e=lim⁡█(@h→1/5) 〖(1+1/5) 1/(1/5)〗^

e=lim⁡█(〖^〗〖 (6/5)〗^5@h→1/5 )

e=lim┴⁡〖█(@█( @h→1/5)) 2,48832 〗

N=10

n=1/h e=█(lim⁡@h→1/10 )⁡〖(1+h) 1/h〗

10=1/h e=lim⁡█(@h→1/10) (1+h)1/(1/10)

h=1/10 e=lim⁡█(@h→1/10) 〖(1+1/10) 1/(1/10)〗^

e=lim⁡█(〖^〗〖 (11/10)〗^10@h→1/10 )

e=lim┴⁡█(@█( @h→1/10 ))2,59374246

N=50

n=1/h e=█(lim⁡@h→1/50 )⁡〖(1+h) 1/h〗

1=1/h e=lim⁡█(@h→1/50) (1+h)1/(1/50)

h=1/50 e=lim⁡█(@h→1/50) 〖(1+1/50 ) 1/(1/50)〗^

e=lim⁡█( 〖^〗(51/50)^5@h→ 1/50)

e=lim┴⁡〖█(@█( @h→1/50 )) 2,691588029〗

N= 100

n=1/h e=█(lim⁡@h→1/100 )⁡〖(1+h) 1/h〗 100=1/h e=lim⁡█(@h→1/100) (1+h)1/(1/100)

h=1/100 e=lim⁡█(@h→1/100) 〖(1+1/100) 1/(1/100)〗^

e=lim⁡█(〖^〗〖 (101/100)〗^100@h→1/100 )

e=lim┴⁡█(@█( @h→1/100 ))2,704813829

N= 500

n=1/h e=█(lim⁡@h→1/500 )⁡〖(1+h) 1/h〗

500=1/h e=lim⁡█(@h→1/500) (1+h)1/(1/500)

h=1/500 e=lim⁡█(@h→1/500) 〖(1+1/500) 1/(1/500)〗^

e=lim⁡█(〖^〗〖 (501/500)〗^500@h→1/500 )

e=lim┴⁡█(@█( @h→1/500 )) 2,715568521

N= 1000

n=1/h e=█(lim⁡@h→1/1000 )⁡〖(1+h) 1/h〗 1000=1/h e=lim⁡█(@h→1/1000) (1+h)1/(1/1000)

h=1/1000 e=lim⁡█(@h→1/1000) 〖(1+1/1000) 1/(1/1000)〗^

e=lim⁡█(〖^〗〖 (1001/1000)〗^1000@h→1/1000 )

e=lim┴⁡█(@█( @h→1/1000 ))2,716923932

N= 5000

n=1/h e=█(lim⁡@h→1/5000 )⁡〖(1+h) 1/h〗

5000=1/h e=lim⁡█(@h→1/5000) (1+h)1/(1/5000)

h=1/5000 e=lim⁡█(@h→1/5000) 〖(1+1/5000) 1/(1/5000)〗^

e=lim⁡█(〖 (5001/5000)〗^5000@h→1/5000 )

e=lim┴⁡█(@█( @h→1/5000 )) 2,718010050

N= 10.000

n=1/h e=█(lim⁡@h→1/10000 )⁡〖(1+h) 1/h〗

10.000=1/h e=lim⁡█(@h→1/10000) (1+h)1/(1/10000)

h=1/10000 e=lim⁡█(@h→1/10000) 〖(1+1/10000) 1/(1/10000)〗^

e=lim⁡█(〖 (10001/10000)〗^10000@h→1/10000 )

e=lim┴⁡█(@█( @h→1/10000 )) 2,718145927

N= 100000

n=1/h e=█(lim⁡@h→1/100000 )⁡〖(1+h) 1/h〗

100000=1/h e=lim⁡█(@h→1/100000) (1+h)1/(1/100000)

h=1/100000 e=lim⁡█(@h→1/100000) 〖(1+1/100000) 1/(1/100000)〗^

e=lim⁡█(〖^〗〖 (100001/100000)〗^100000@h→1/100000 )

e=lim┴⁡█(@█( @h→1/100000 )) 2,718268237

N= 1000000

n=1/h e=█(lim⁡@h→1/1000000 )⁡〖(1+h) 1/h〗

1000000=1/h e=lim⁡█(@h→1/1000000) (1+h)1/(1/1000000)

h=1/1000000 e=lim⁡█(@h→1/1000000) 〖(1+1/1000000) 1/(1/1000000)〗^

e=lim⁡█(〖^〗〖 (1000001/1000000)〗^1000000@h→1/1000000 )

e=lim┴⁡█(@█( @h→1/1000000 )) 2,718280469

N E

1 2

5 2,48832

10 2,59374246

50 2,691588029

100 2,704813829

500 2,715568521

1000 2,716923932

5000 2,718010050

10000 2,718145927

100000 2,718268237

1000000 2,718280469

Passo 2

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória

infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais informações sobre o

assunto de pelo menos 1 página e explicar como a Constante de Euler se relaciona com série

harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenças

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos (tais como motores e geradores elétricos) e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de aspecto eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada. Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Também podem ser utilizadas outras ferramentas de análise matemática para estudar este fenômeno, tais como as transformadas de Fourier.

A série harmônica é uma série infinita, composta de ondas senoidais com todas as frequências múltiplas inteiras da frequência fundamental. Tecnicamente, a frequência fundamental é o primeiro harmônico, no entanto, devido a divergências de nomenclatura, alguns textos apresentam a frequência 2F como sendo o primeiro harmônico.

Para evitar ambiguidades, consideramos, no âmbito desse artigo, que a fundamental corresponde ao primeiro harmônico. Não existe uma única série harmônica, mas sim uma série diferente para cada frequência fundamental. A Tabela abaixo mostra dois exemplos de série harmônica. Uma se inicia no Lá1(110 Hz) e a outra no Do2(132 Hz). A frequência dá nota Do2 foi arredondada para simplificar a tabela. Em um sistema temperado as frequências das notas seriam ligeiramente diferentes (Ver observações e o texto abaixo). São mostrados os 16 primeiros harmônicos para cada série.

Passo 3: Crescimento populacional

A “Teoria da População” de Thomas Malthus publicada em 1798 demonstra sua preocupação diante da questão social agravada pela miséria crescente do operariado na Inglaterra. Segundo ele, a população crescia em progressão geométrica, enquanto os meios de subsistência cresciam em progressão aritmética, o que resultava em miséria e pobreza. Malthus era contrário a qualquer intervenção do Estado para tentar resolver o problema e afirmava que isso serviria apenas para estimular o aumento da população e o agravamento da questão. Para ele, a própria natureza seria incumbida de resolver tal problema, pois aumentaria a mortalidade devido à fome.

“O essencial da teoria de Malthus, como enfatiza Hugon (1995, p. 112), se resume que há uma falta de concordância entre o poder de reprodução da espécie humana e a capacidade de produção dos meios de subsistência e que o excedente deve desaparecer”.

“Um homem que nasce em um mundo já ocupado não tem o direito de reclamar parcela alguma de alimento, no grande banquete da natureza não há lugar para ele”. A natureza intima-o a sair e não tarda em executar essa intimação (Hugon, 1995, p. 112).

Preocupado com o crescimento populacional acelerado, Malthus publica uma série de idéias alertando a importância do controle da natalidade, afirmando que o bem-estar populacional estaria intimamente relacionado com o crescimento demográfico do planeta. Ele acreditava que o crescimento desordenado acarretaria a falta de recursos alimentícios para a população gerando, como conseqüência, a miséria e a fome. (Coulon, 1995)

Exemplo:

Considerar uma colônia de vírus em um determinado ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela triplica a cada 8 hora.

Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vírus

haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem?

Considerando que;

No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então N(12) = 600 = 200 er12 logo e12r = 600/200 = 3 assim ln(e12r) = ln(3)

Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que:

12r = ln(3)

assim:

r = ln(3)/12 = 0,0915510

Assim:

N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias

Resposta:

Então, após 36 horas da última contagem, ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.

t=a

Bibliografia:

<https://docs.google.com/document/d/1Iffm3MwYq7kJl3NDM5K1jrqb7IYkeP8ETdagh2FKVHc/edit?hl=pt_BR>.

<https://docs.google.com/document/d/1Roj1Nw6US3sYZ7HKfSAKvbrBK4cIkh7AAZvZ_UC1rOU/edit?hl=pt_BR>.

http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/mu.php

http://www3.iesam-pa.edu.br/ojs/index.php/computacao/article/viewFile/618/453

http://www.lizardonunes.pro.br/PDFs/Cinematica_Aula2.pdf