INTERGRAIS

INTEGRAL DEFINIDA

Objetivos (ao nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de):

1. Denir integral inferior e integral superior;

2. Calcular o valor da integral denida por denição;

3. Aplicar o teorema fundamental do cálculo e suas propriedades;

4. Calcular integral denida por substituição de variáveis;

5. Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias;

6. Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias de funções descontínuas;

7. Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas retangulares;

8. Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas polares;

9. Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas paramétricas;

10. Calcular volume de um sólido de revolução;

11. Calcular o comprimento de um arco em coordenadas retangulares, paramétricas e polares;

12. Calcular a superfície de um sólido de revolução;

13. Resolver problemas através da integral nas áreas de física, produção, economia entre

outras aplicações;

14. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica.

A prova será composta por questões que possibilitam vericar se os objetivos foram

atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formula

ção das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento

teórico desse capítulo nessa apostila.

1

1.1 Introdução

Neste capítulo estudaremos a integral denida. Uma das principais aplicações da integral

denida encontra-se em problemas que envolvem cálculo de área e volumes. Por exemplo,

seja f : [a, b] → R uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Nosso

propósito é determinar a área da região delimitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas

retas x = a e x = b, conforme Figura 1.1 abaixo:

a y b

x

f

Figura 1.1: Área da região R

Estimando o valor da área R: Sabemos como calcular a área de um retângulo (base

× altura). A área de um polígono podemos obter subdividindo-o em triângulos e retângulos.

No entanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com lados curvos. Assim, parte do

problema da área é utilizar uma ideia intuitiva do que é a área de uma região. Recordemos

que, para denir uma tangente, primeiro aproximamos a inclinação da reta tangente por

inclinações de retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. Utilizaremos

uma ideia semelhante para obter áreas.

Por exemplo para calcular a área da região R vamos dividir o intervalo [a, b] em 2 subintervalos

de comprimento Δx = b−a

2 . Denotamos os extremos destes subintervalos por xi,

onde i ∈ {0, 1, 2}. Veja que, neste caso, temos x0 = a, x1 = c e x2 = b. Na Figura 1.2,

considere os retângulos de largura Δx e altura Mi = Max{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}.

a y c b

x

f

Figura 1.2: Estimativa por soma de áreas de retângulos

Deste modo obtemos um polígono circunscrito a região R cuja área é dada pela soma

da área dos dois retângulos. Como a base é a mesma, podemos dizer que a área é dada

por

Σ2

i=1

MiΔx, onde Mi = Max{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. Você acha que podemos comparar a

2

área da região R representada pela Figura 1.1 e a região formada pelos retângulos da Figura

1.2? A diferença é muito grande? O que aconteceria com esta diferença se dividíssemos o

intervalo [a, b] em n subintervalos com n = 3, 4, 5, 6, · · ·?

A denição formal de integral denida envolve a soma de muitos termos pequenos (diferenciais),

com a nalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim há

uma conexão entre o cálculo integral e diferencial, onde o Teorema Fundamental do Cálculo

relaciona a integral com a derivada. As integrais estão envolvidas em inúmeras situações:

usando a taxa (derivada) podemos obter a quantidade (integral) de óleo que vaza de um

tanque durante um certo tempo; utilizando a leitura do velocímetro de um ônibus espacial é

possível calcular a altura atingida por ele em um dado intervalo de tempo. Assim, pode-se

usar a integral para resolver problemas concernentes a volumes, comprimentos de curvas,

predições populacionais, saída de sangue do coração, força sobre uma represa, potência consumida

e a energia usada em um intervalo de tempo na cidade de Joinville, etc.

O Cálculo da Área

Primeiramente aproximaremos a área da regiã R delimitada por grácos de funções